[论文解读] About the seventh-order Kaup-Kupershmidt equation and its solutions

Alvaro H. Salas, Jairo Ernesto Castillo Hernández+1 more|ArXiv.org|Sep 17, 2008

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 3被引用 8

一句话总结

本文通过科尔-霍普夫变换和两种有理双曲试探法，为七阶Kaup-Kupershmidt方程获得了精确的孤子解和周期解。通过广义科尔-霍普夫变换推导出一个孤子解，并利用双曲正切-余切和双 sinh- cosh 有理试探法获得18个精确解——包括孤子解和周期波解，给出了波速与波数依赖关系的显式表达式。

ABSTRACT

In this letter we obtain exact soliton and periodic solutions to the seventh-order Kaup-Kupershmidt equation. We make use of the Cole-Hopf transformation and two particular rational hyperbolic functions ansatze.

研究动机与目标

• 为七阶Kaup-Kupershmidt方程——一种高阶非线性演化方程——推导精确解析解。
• 研究七阶KdV型系统中孤子解与周期波解的存在性与结构。
• 系统地应用广义科尔-霍普夫变换与有理双曲试探法求解该方程。
• 为该方程提供文献中此前未报道的新精确解。

提出的方法

• 采用广义科尔-霍普夫变换 $ u(x,t) = A\partial_{xx}\log(1 + \exp(kx - ct + \delta)) + B $，将PDE化为关于 $ \zeta = \exp(kx - ct + \delta) $ 的多项式。
• 将试探解代入七阶Kaup-Kupershmidt方程，令 $ \zeta $ 的各次幂系数为零，以求解常数。
• 利用波变换 $ \xi = x + \lambda t $ 将PDE约化为关于 $ v(\xi) $ 的ODE，从而通过试探法求解。
• 应用双曲正切-余切试探法 $ v(\xi) = p + a\tanh(\mu\xi) + b\coth(\mu\xi) + c\tanh^2(\mu\xi) + d\coth^2(\mu\xi) $，生成双曲与三角函数解。
• 采用双 sinh- cosh 有理试探法 $ v(\xi) = p + \frac{k}{1 + c\sinh(\mu\xi) + d\cosh(\mu\xi)} $，推导有理与周期解。
• 利用符号计算求解所得代数系统，以确定参数关系与精确解形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过科尔-霍普夫变换为七阶Kaup-Kupershmidt方程获得精确孤子解与周期解？
• RQ2 有理双曲试探法在何种条件下可为七阶KdV型方程产生有效解？
• RQ3 在所推导的解中，波速 $ \lambda $、振幅与波数 $ \mu $ 之间有何依赖关系？
• RQ4 是否存在文献中此前未记载的七阶Kaup-Kupershmidt方程的新精确解？
• RQ5 通过解析延拓或参数代换，实参数试探法能否产生复数解与周期解？

主要发现

• 推导出一个孤子解：$ u_0(x,t) = -\frac{k^2}{24} + \frac{1}{4(1 + \cosh(kx + \frac{k^7}{48}t + \delta))} $，波速为 $ c = \frac{k^7}{48} $。
• 利用双曲正切-余切试探法，获得12个解，包括 $ u_1(x,t) = \frac{\mu^2}{3} - \frac{\mu^2}{2}\coth^2(\mu(x + \frac{4\mu^6}{3}t)) $ 与 $ u_3(x,t) = \frac{\mu^2}{3} - \frac{\mu^2}{2}\tanh^2(\mu(x + \frac{4\mu^6}{3}t)) $，波速 $ \lambda = \frac{4\mu^6}{3} $。
• 双 sinh- cosh 有理试探法产生六个附加解，如 $ u_7(x,t) = -\frac{\mu^2}{24} + \frac{\mu^2}{4(1 - \cosh(\mu(x + \frac{\mu^6}{48}t)))} $，波速 $ \lambda = \frac{\mu^6}{48} $。
• 含 $ \sqrt{-1} $ 参数的解产生周期解，如 $ u_8(x,t) = \frac{\mu^2}{24} - \frac{\mu^2}{4(1 - \cos(\mu(x - \frac{\mu^6}{48}t)))} $。
• 当 $ c = \pm \sqrt{d^2 - 1} $ 时，产生广义有理-双曲形式解，例如 $ u_{15}(x,t) = -\frac{\mu^2}{24} + \frac{\mu^2}{4(1 + d\cosh(\mu(x + \frac{\mu^6}{48}t)) + \sqrt{d^2 - 1}\sinh(\mu(x + \frac{\mu^6}{48}t)))} $。
• 所有解均经验证满足原始七阶Kaup-Kupershmidt方程，证实了方法的一致性及结果在文献中的新颖性。