[论文解读] About uniform regularity of collections of sets

Alexander Y. Kruger, Nguyen Hieu Thao|arXiv (Cornell University)|May 1, 2013

Optimization and Variational Analysis参考文献 40被引用 19

一句话总结

本文建立了希尔伯特空间中集合族一致正则性问题中原始空间与对偶空间特征常数之间的联系，提供了一个定量框架以分析投影算法的收敛速率。研究证明，Kruger 等人提出的对偶空间常数等价于 Lewis 等人引入的常数的修正版本，从而在一致正则性条件下，为循环投影法与平均投影法提供了线性收敛估计。

ABSTRACT

We further investigate the uniform regularity property of collections of sets via primal and dual characterizing constants. These constants play an important role in determining convergence rates of projection algorithms for solving feasibility problems.

研究动机与目标

• 建立 Kruger 等人提出的对偶空间常数与 Lewis 等人在一致正则性背景下引入的常数之间的关系。
• 在希尔伯特空间中，为对偶空间常数提供一种简化的等价表示形式。
• 将推导出的常数应用于获得循环投影法与平均投影算法的收敛速率估计。
• 将投影方法的收敛性分析从两集合情形推广至希尔伯特空间中有限个集合的情形。

提出的方法

• 在任意希尔伯特空间中引入 Lewis 等人（2009）所提常数的修正版本。
• 通过希尔伯特空间中的简化表示，建立该修正常数与 Kruger（2005, 2006, 2009, 2012）提出的对偶空间常数之间的等价性。
• 利用该等价性，推导出有限维希尔伯特空间中循环投影法的收敛速率估计。
• 通过将 m 个集合的可行性问题嵌入到乘积空间中的两集合问题，将结果应用于平均投影算法。
• 采用由常数 $\hat{\theta}[\mathbb{\Omega}](\bar{x}) > 0$ 表征的统一正则性性质，以确保线性收敛。
• 将该方法应用于证明：当初始点足够接近解时，交替投影算法与平均投影算法生成的序列线性收敛于集合的交集点。

实验结果

研究问题

• RQ1 在希尔伯特空间中，Kruger 等人提出的对偶空间常数与 Lewis 等人引入的常数之间有何关系？
• RQ2 在希尔伯特空间中，对偶空间常数能否被简化？其等价表示形式是什么？
• RQ3 在何种条件下，循环投影法对有限个集合的集合族可实现线性收敛？
• RQ4 如何利用统一正则性性质分析平均投影算法的收敛性？
• RQ5 统一正则性常数 $\hat{\theta}[\mathbb{\Omega}](\bar{x})$ 在确定收敛速率方面起什么作用？

主要发现

• Kruger 等人提出的对偶空间常数在希尔伯特空间中等价于 Lewis 等人引入的常数的修正版本。
• 在希尔伯特空间中，对偶空间常数具有简化的等价表示形式，从而便于其计算与应用。
• 在统一正则性条件下，循环投影法的线性收敛性得以确立，其收敛速率被限制在 $\sqrt[m]{c}$ 之内，其中 $c \in (0,1)$。
• 当集合族具有统一正则性且初始点足够接近解时，平均投影算法线性收敛于集合的交集点。
• 作为主定理的推论，两集合情形下交替投影法的收敛速率是线性的。
• 通过乘积空间嵌入方法，将结果推广至平均投影算法，证明在相同统一正则性条件下实现线性收敛。