[论文解读] Absence of percolation in the Bernoulli Boolean model

Cristian F. Coletti, Sebastian P. Grynberg|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2014

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文建立了在 $\mathbb{Z}^d$ 上离散伯努利布尔模型中不存在渗滤的条件，证明当强度 $p$ 足够小时且半径分布具有有限的 $d$-阶矩时，连通分量几乎必然有限。该结果被推广至非齐次的 $p_x$ 情况，并在柯利科夫型分解假设下，通过哈里斯图形程序构造具有长程相互作用的相互作用粒子系统。

ABSTRACT

We consider the Bernoulli Boolean discrete percolation model on the d-dimensional integer lattice. We study sufficient conditions on the distribution of the radii of balls placed at the points of a Bernoulli point process for the absence of percolation, provided that the intensity of the underlying point process is small enough. We also study a Harris graphical procedure to construct, forward in time, particle systems with interactions of infinite range under the assumption that the corresponding generator admits a Kalikow-type decomposition. We do so by using the subcriticality of the boolean model of discrete percolation.

研究动机与目标

• 建立 $\mathbb{Z}^d$ 上离散伯努利布尔模型中不存在渗滤的充分条件。
• 确定半径分布的 $d$-阶矩在亚临界行为中的作用。
• 将亚临界性结果推广至非齐次保留概率 $p_x$。
• 将亚临界性结果应用于具有长程相互作用的相互作用粒子系统的图形构造。
• 在柯利科夫型分解假设下，提供一种构造此类系统的有效方法。

提出的方法

• 在 $\mathbb{Z}^d$ 上定义具有独立同分布半径 $R_x$ 和保留概率 $p_x$ 的离散伯努利布尔模型。
• 使用耦合论证，将常数 $p_x = p$ 情况下的亚临界性结果推广至非恒定的 $p_x$。
• 应用 $L_1$-球和球面的几何估计，特别是 $S_{nr} \subset \bigcup_{x \in S_n} B(rx, \frac{d}{2}r)$，以控制簇的增长。
• 证明若 $\mathbb{E}[R^d] < \infty$，则当 $p$ 足够小时，占据簇几乎必然有限。
• 利用布尔模型的亚临界性，通过有限岛屿 $C_\ell$ 上的泊松过程实现图形耦合。
• 通过在有序跳跃时间 $\tau_k$ 上递归地更新每个位置的状态，逐步构造无限体积过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 在半径分布满足何种条件时，离散伯努利布尔模型不出现渗滤？
• RQ2 半径的 $d$-阶矩在决定亚临界行为中起何种关键作用？
• RQ3 亚临界性结果能否推广至非齐次保留概率 $p_x$？
• RQ4 如何利用布尔模型的亚临界性来构造具有长程相互作用的相互作用粒子系统？
• RQ5 生成元需满足何种条件，才能保证柯利科夫型分解，从而实现此类图形构造？

主要发现

• 若对所有 $x$ 有 $p_x = p \in (0,1)$ 且 $\mathbb{E}[R^d] < \infty$，则当 $p$ 足够小时，布尔模型的连通分量几乎必然有限。
• 若 $\mathbb{E}[R^d] = \infty$，则无论 $p$ 多么小，渗滤都会发生，表明 $d$-阶矩是一个精确的临界阈值。
• 通过耦合论证，只要半径分布具有有限的 $d$-阶矩，亚临界性结果即可推广至非恒定的 $p_x$。
• 在生成元容许柯利科夫型分解的假设下，可实现具有长程相互作用的相互作用粒子系统的图形构造。
• 该构造通过将 $\mathbb{Z}^d$ 划分为无相互作用的有限岛屿 $C_\ell$ 实现，从而可在每个分量上进行递归模拟。
• 该方法依赖于对泊松过程的跳跃时间进行排序，并利用相应的速率和环境信息在每个位置更新状态。