[论文解读] Absence of renormalization group pathologies in some critical Dyson-Ising ferromagnets

Tom Kennedy|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2020

Theoretical and Computational Physics参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文通过稀释或多数规则方法，严格证明了修改后的一维Dyson-Ising铁磁体在长程相互作用下，重整化群（RG）变换的第一步的存 在性。通过引入相对于长程耦合（$\epsilon$）更强的近邻耦合（$\gamma$），作者证明了即使在临界点附近，重整化测度仍保持Gibbs性，从而解决了Van Enter与Le Ny在标准模型低温下发现的病态问题。

ABSTRACT

The Dyson-Ising ferromagnet is a one-dimensional Ising model with a power law interaction. When the power is between -1 and -2, the model has a phase transition. Van Enter and Le Ny proved that at sufficiently low temperatures the decimation renormalization group transformation is not defined in the sense that the renormalized measure is not a Gibbs measure. We consider a modified model in which the nearest neighbor couplings are much larger than the other couplings. For a family of Hamiltonians which includes critical cases, we prove that the first step of the renormalization group transformation can be rigorously defined for majority rule and decimation.

研究动机与目标

• 为解决标准临界Dyson-Ising模型在低温下稀释RG变换失效的问题，即重整化测度非Gibbs性。
• 证明通过引入相对于长程耦合（$\gamma$）更强的近邻相互作用，可恢复第一级RG变换的良好定义性。
• 将RG方法的有效性扩展至包含临界点的参数区域，这些区域在非严格处理中最为关键。
• 证明对于小的$\epsilon$和所有$\gamma > 0$，稀释与多数规则变换在修改后的模型中均产生良好定义的RG映射。

提出的方法

• 引入一个带独立参数$\gamma$（近邻）和$\epsilon$（长程）的修改哈密顿量，实现对耦合强度的独立调节。
• 利用红外界和高斯控制来控制自旋关联，并证明当$\gamma$相对于$\epsilon$足够大时存在长程序。
• 应用反射正则性和$J_{j,k} = |j-k|^{-\alpha}$的积分表示，建立高斯控制界，这是证明红外界的关键步骤。
• 通过在$h_j = \delta e^{ipj}$处对高斯控制不等式进行二阶展开，推导出红外界$g_m(p) \leq 1/(2E(p))$。
• 使用对偶晶格$\Lambda^*$并对$p \in \Lambda^*$求和，分析磁化率行为，并通过$p=0$处的点质量检测长程序。
• 利用下界$R(p) \geq c p^{\alpha-1}$证明$\sup_m \frac{1}{2m} \sum_{p \in \Lambda^*} \frac{1}{R(p)} < \infty$，确保在$1 < \alpha < 2$时的可积性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在先前方法失效的临界Dyson-Ising模型中，第一级RG变换能否被严格定义？
• RQ2 引入强近邻耦合（$\gamma$）是否可防止低温下重整化测度变为非Gibbs性？
• RQ3 修改后哈密顿量的高斯控制界是否成立，从而支持红外界的推导？
• RQ4 当$\epsilon$较小时，红外界是否能检测到所有$\gamma > 0$下修改模型中的长程序？
• RQ5 该方法是否可扩展至临界区域中的稀释与多数规则变换？

主要发现

• 对于任意$\alpha \in (1,2)$，存在$\epsilon_0 > 0$，使得对所有$\epsilon < \epsilon_0$和所有$\gamma > 0$，第一级RG变换通过稀释或多数规则方法均良好定义。
• 在修改后的模型中，即使在临界点附近，重整化测度仍保持Gibbs性，解决了Van Enter与Le Ny在标准模型中发现的病态问题。
• 由于高斯控制，红外界$g_m(p) \leq 1/(2E(p))$成立，其证明基于反射正则性和$J_{j,k}$的积分表示。
• 由于$R(p) \geq c p^{\alpha-1}$且$\alpha - 1 < 1$，使得$\sup_m \frac{1}{2m} \sum_{p \in \Lambda^*} \frac{1}{R(p)} < \infty$为有限值，确保在$p=0$附近可积。
• 当$\gamma \to \infty$时，积分$\int \frac{dp}{E(p)} \to 0$，意味着磁化率中在$p=0$处出现点质量，标志长程序的出现。
• 证明依赖于$N_{j,k}$和$J_{j,k}$的反射正则性，以及存在正测度$\mu$使得$n^{-\alpha} = \int_0^1 \lambda^n \mu(d\lambda)$。