[论文解读] Absence of true localization in many-body localized phases

Maximilian Kiefer-Emmanouilidis, R. G. Unanyan+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2020

Quantum many-body systems被引用 4

一句话总结

该论文提供了数值证据，表明无序量子自旋链中的多体 localized（MBL）相并未表现出真正的局域化，因为粒子数熵 $ S_N \sim \ln\ln t $ 随时间缓慢且持续增长，即使在强无序条件下也是如此。这种持续增长表明系统中子系统间的粒子数涨落仍在持续，与标准 MBL 图像中 $ S_N $ 达到饱和的预期相矛盾，意味着尽管存在强无序，该系统在热力学极限下仍保持遍历性。

ABSTRACT

We have recently shown that the logarithmic growth of the entanglement entropy following a quantum quench in a many-body localized (MBL) phase is accompanied by a slow growth of the number entropy, $S_N\sim\ln\ln t$. Here we provide an in-depth numerical study of $S_N(t)$ for the disordered Heisenberg chain and show that this behavior is not transient and persists even for very strong disorder. Calculating the truncated Rényi number entropy $S_N^{(α)}(t)=(1-α)^{-1}\ln\sum_n p^α(n)$ for $α\ll 1$ and $p(n)>p_c$ -- which is sensitive to large number fluctuations occurring with low probability -- we demonstrate that the particle number distribution $p(n)$ in one half of the system has a continuously growing tail. This indicates a slow but steady increase of the number of particles crossing between the partitions in the interacting case, and is in sharp contrast to Anderson localization, for which we show that $S_N^{(α o 0)}(t)$ saturates for any cutoff $p_c>0$. We show, furthermore, that the growth of $S_N$ is $\mathit not$ the consequence of rare states or rare regions but rather represents typical behavior. These findings provide strong evidence that the interacting system is never fully localized even for very strong but finite disorder.

研究动机与目标

• 研究 MBL 相中纠缠熵的对数增长是否伴随有持续增长的粒子数熵 $ S_N $，以判断局域化是否不完全。
• 确定观测到的 $ S_N \sim \ln\ln t $ 行为是瞬态现象还是在强无序下依然持续，以排除罕见区域或有限尺寸效应的影响。
• 评估 $ S_N $ 的增长是否为 MBL 相的典型特征，还是仅由接近遍历-MBL 转变点的罕见态引起。
• 评估 $ S_N $ 饱和值的有限尺寸外推的可靠性，并挑战以往将 $ S_N $ 随系统尺寸减小解释为局域化证据的观点。

提出的方法

• 对系统尺寸最大达 $ L = 24 $ 的无序 Heisenberg 链进行数值精确对角化，无序强度最高达到估计临界值的两倍。
• 计算截断的 Rényi 粒子数熵 $ S_N^{(\alpha)}(t) = (1 - \alpha)^{-1} \ln \sum_n p^n(n) $，其中 $ \alpha \ll 1 $，重点关注大 $ p(n) $ 以检测粒子数分布中缓慢增长的尾部。
• 分析一个子系统中粒子数 $ p(n) $ 的完整概率分布，以识别持续增长尾部的出现，表明粒子持续跨子系统边界转移。
• 使用双重对数拟合 $ S_N(t) \approx (\nu/2)\ln\ln t + b $ 来外推饱和值并估计 $ t_{\text{sat}} \sim \exp(L) $，以考虑数值精度限制。
• 与非相互作用、非对角无序模型进行对比，确认所观测行为并非可积性或特殊对称性的产物。
• 系统研究多个无序强度和系统尺寸下的 $ S_N(t) $，以评估标度行为及有限尺寸数据中的非单调性。

实验结果

研究问题

• RQ1 MBL 相中的粒子数熵 $ S_N $ 是否随时间无限增长，还是最终趋于饱和？
• RQ2 观测到的 $ S_N \sim \ln\ln t $ 增长是瞬态效应，还是强无序下 MBL 相的稳健特征？
• RQ3 $ S_N $ 的持续增长是否可归因于罕见区域或罕见态，还是其为 MBL 相中的典型行为？
• RQ4 $ S_N $ 饱和值的有限尺寸外推是否可靠地指示局域化，还是由于非单调标度导致 $ S_N $ 随系统尺寸减小的表象具有误导性？
• RQ5 $ \alpha \to 0 $ 时 $ S_N^{(\alpha)} $ 的行为在相互作用 MBL 系统与非相互作用 Anderson 局域化系统之间有何不同？

主要发现

• 粒子数熵 $ S_N(t) $ 在长时间尺度上仍以 $ \ln\ln t $ 的形式增长，即使在无序强度达到估计临界值两倍时也如此，表明存在持续的粒子数涨落。
• 一个子系统中粒子数分布 $ p(n) $ 发展出持续增长的尾部，这是粒子持续跨子系统边界转移的标志。
• 对于 $ \alpha \ll 1 $ 的截断 Rényi 粒子数熵 $ S_N^{(\alpha)} $ 显示出持续增长，证实低概率的大粒子数涨落并非瞬态，而是随时间累积。
• 与 Anderson 局域化不同，后者在任意 $ p_c > 0 $ 下 $ S_N^{(\alpha \to 0)} $ 均趋于饱和，而相互作用 MBL 系统则无此饱和现象，表明其局域化行为存在根本差异。
• $ S_N $ 饱和值的有限尺寸标度呈非单调性，且缺乏清晰的标度函数，使得当前方法无法可靠地外推至热力学极限。
• 所观测行为并非源于罕见区域或接近相变点的罕见态，而是 MBL 相中的典型动力学，挑战了热力学极限下真正 MBL 相存在的可能性。