[论文解读] Absolute and relative choreographies in the problem of point vortices moving on a plane

А. В. Борисов, И. С. Мамаев+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2005

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 14被引用 33

一句话总结

本文针对平面上强度相等的三个和四个点涡旋，提出了新的周期性解——绝对与相对编排（choreographies）。通过哈密顿约化与辛坐标，推导出所有涡旋在旋转参考系或惯性参考系中均描绘相同闭合曲线的周期运动，基于能量依赖的角速度分析，建立了一组可数的稳定与不稳定编排。

ABSTRACT

We obtained new periodic solutions in the problems of three and four point vortices moving on a plane. In the case of three vortices, the system is reduced to a Hamiltonian system with one degree of freedom, and it is integrable. In the case of four vortices, the order is reduced to two degrees of freedom, and the system is not integrable. We present relative and absolute choreographies of three and four vortices of the same intensity which are periodic motions of vortices in some rotating and fixed frame of reference, where all the vortices move along the same closed curve. Similar choreographies have been recently obtained by C. Moore, A. Chenciner, and C. Simo for the n-body problem in celestial mechanics [6, 7, 17]. Nevertheless, the choreographies that appear in vortex dynamics have a number of distinct features.

研究动机与目标

• 识别并分类平面上经典点涡旋问题中的周期性解——特别是编排（choreographies）。
• 将此前在n体问题中研究的编排概念，拓展至具有独特动力学特征的点涡旋系统。
• 分析三个和四个强度相等的涡旋系统中绝对与相对编排的存在性与稳定性。
• 利用辛与正则变量约化动力学，实现在约化相空间中研究周期性解。
• 确定编排在时间上闭合且成为绝对编排（在惯性系中无净旋转）的条件，基于能量依赖的角速度方程。

提出的方法

• 利用欧几里得群的不变性约化n涡旋问题，通过平动不变量Q和P消除两个自由度。
• 采用相互变量表示法，利用平方距离M_ij与有向三角形面积Δ_ijk，基于李代数构造辛约化。
• 对于三个涡旋，通过能量与角动量约束，将系统约化为一个自由度的哈密顿系统，使用正则变量(g, G)。
• 对于四个涡旋，利用正则变量(g, G, h, H)将系统约化为两自由度系统，哈密顿量以相互距离表示。
• 基于约化系统的周期解与旋转对称性，推导出相对编排的角速度函数Ω_m^(k)(E)。
• 通过求解Ω_m^(k)(E) = 0，识别绝对编排，即系统在惯性系中净角速度为零的情况。

实验结果

研究问题

• RQ1 在强度相等的三个和四个点涡旋系统中，平面上存在哪些周期性解——特别是编排？
• RQ2 相对与绝对编排如何从约化哈密顿系统中产生？其在时间上闭合的条件是什么？
• RQ3 能量与角速度在决定这些编排解的存在性与稳定性方面起什么作用？
• RQ4 四涡旋系统的非可积性如何影响其周期编排的稳定性，相较于可积的三涡旋情形？
• RQ5 能否从约化系统的周期解中系统性地生成一个可数的绝对编排集合？

主要发现

• 对于三个涡旋，存在一个可数的绝对编排集合，由求解Ω_m^(k)(E) = 0确定，解对应于互质整数m与3k。
• 三涡旋系统中最简单的绝对编排对应于一种非连通构型，其角速度在能量极值处与汤姆森态和共线态的角速度一致。
• 在四涡旋系统中，戈里亚乔夫解（Goryachev solution）产生一个周期为2T的相对编排，其角速度Ω_2^(0)(E)关于中点对称。
• 对于四涡旋，相对编排满足Ω_2m^(k)(E) = Ω_2^(0)(E) + (k/m)Ω_0(E)，其中m为奇数且k与m互质，导致在2mT周期后实现周期闭合。
• 四涡旋系统中的绝对编排通过求解Ω_2m^(k)(E) = 0获得，产生一个与三涡旋情形类似的可数解集合。
• 倍乘子的数值分析表明，尽管在约化系统中可能存在稳定性，四涡旋系统中的周期解仍表现出指数不稳定性。