[论文解读] Absolute and relative Gromov-Witten invariants of very ample hypersurfaces

Andreas Gathmann|ArXiv.org|Aug 12, 1999

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用 6

一句话总结

本文建立了光滑复射影代数簇中非常 ample 超平面的绝对与相对亏格零 Gromov-Witten 不变量之间的循环层关系。通过代数几何方法，证明了在基空间中，超平面的相对不变量可由基空间与超平面自身的绝对不变量计算得出，从而在已知基空间不变量时，实现了对超平面亏格零不变量的完整计算。

ABSTRACT

For any smooth complex projective variety X and smooth very ample hypersurface Y in X, we develop the technique of genus zero relative Gromov-Witten invariants of Y in X in algebro-geometric terms. We prove an equality of cycles in the Chow groups of the moduli spaces of relative stable maps that relates these relative invariants to the Gromov-Witten invariants of X and Y. Given the Gromov-Witten invariants of X, we show that these relations are sufficient to compute all relative invariants, as well as all genus zero Gromov-Witten invariants of Y whose homology and cohomology classes are induced by X.

研究动机与目标

• 为非常 ample 超平面的亏格零相对 Gromov-Witten 不变量建立一个严格的代数几何框架。
• 在循环理论层面上，建立超平面在基空间中的相对不变量与基空间和超平面自身绝对不变量之间的关系。
• 证明：只要知道基空间的绝对不变量，即可计算所有相对不变量以及所有从基空间拉回的同调与上同调类的亏格零不变量。
• 提供一种系统性的计算工具，将超平面的 Gromov-Witten 不变量表示为基空间不变量的函数。

提出的方法

• 本文构造了对偶对 (X, Y) 的相对稳定映射的模空间，其中 X 为光滑射影簇，Y 为 X 中的光滑非常 ample 超平面。
• 通过代数几何方法，特别是利用在具有沿 Y 的相切条件的稳定映射模空间上的虚拟基本类，定义了亏格零相对 Gromov-Witten 不变量。
• 一个关键技术工具是在相对稳定映射模空间的 Chow 群中构造一个循环层等式。
• 该方法依赖于 Y 的非常 ample 性质，以保证良好的变形理论，并允许使用退化技术。
• 作者利用虚拟局部化公式以及虚拟法丛的性质，推导出循环关系。
• 该方法通过一个精确的循环恒等式，将相对不变量的计算归约为已知的 X 和 Y 的绝对不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从 X 和 Y 的绝对不变量计算出光滑射影簇 X 中非常 ample 超平面 Y 的相对 Gromov-Witten 不变量？
• RQ2 在亏格零情形下，是否存在一个循环理论恒等式，将 (X, Y) 的相对不变量与 X 和 Y 的绝对不变量联系起来？
• RQ3 当 Y 在 X 中非常 ample 时，Y 的 Gromov-Witten 理论在多大程度上可由 X 的 Gromov-Witten 理论恢复？
• RQ4 Y 的非常 ample 条件是否足以控制相对稳定映射的模空间，从而实现此类计算？

主要发现

• 在相对稳定映射模空间的 Chow 群中，建立了关于 (X, Y) 的相对不变量与 X 和 Y 的绝对不变量之间精确的循环层等式。
• 给定 X 的绝对 Gromov-Witten 不变量，所有 (X, Y) 的相对不变量均可通过推导出的循环关系计算得出。
• 所有其同调与上同调类均从 X 拉回的 Y 的亏格零 Gromov-Witten 不变量，均可由 X 的不变量确定。
• 该方法在非常 ample 假设下，实现了 Y 的 Gromov-Witten 理论向 X 的理论的完全算法化约化。
• 该结果适用于亏格零情形，并适用于所有来自 X 的上同调环中的下拉类与后代插入项。
• 该框架完全基于代数几何，不依赖于分析或辛几何技术，因此适用于代数几何中的进一步应用。