[论文解读] Absolute connectedness and classical groups

Jakub Gismatullin|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 27被引用 11

一句话总结

本文引入了群的模型论绝对连通性与类型-绝对连通性的概念，证明了无限域上的分裂半单线性群是绝对连通的。它表明类型-绝对连通性与离散拓扑化的极小几乎周期群类完全一致，并构造了一个群，使得 $G^{00}/G^{\infty}$ 非交换，从而解决了关于该商群非交换结构的一个开放问题。

ABSTRACT

We introduce and develop the model-theoretic notions of absolute connectedness and type-absolute connectedness for groups. We prove that groups of rational points of split semisimple linear groups (that is, Chevalley groups) over arbitrary infinite fields are absolutely connected and characterize connected Lie groups which are type-absolutely connected. We prove that the class of type-absolutely connected group is exactly the class of discretely topologized groups with trivial Bohr compactification, that is the class of minimally almost periodic groups. As an application we generalize some results of Conversano-Pillay and construct a group $G$ where G^{00}/G^{\infty} is far from being abelian.

研究动机与目标

• 定义并发展群的模型论绝对连通性与类型-绝对连通性的概念。
• 刻画在所有饱和扩张中，$\infty$-连通分支或类型-连通分支等于全群的群。
• 通过构造一个群来解决开放问题：$G^{00}/G^{\infty}$ 是否可能非交换。
• 将模型论连通分支与拓扑概念联系起来，特别是Bohr紧化与极小几乎周期性。
• 推广模型论中连通分支的结果，特别是针对经典群与对称群。

提出的方法

• 在具有任意一阶结构的群的饱和扩张中，引入模型论连通分支 $G^{*\infty}_A$、$G^{*00}_A$ 与 $G^{*0}_A$。
• 将绝对连通性定义为：对所有小集合 $A$ 与所有饱和扩张，均有 $G^{*\infty}_A = G^{*}$；将类型-绝对连通性定义为：$G^{*00}_A = G^{*}$。
• 使用广义拟同态，并通过从稠密子群重构紧致豪斯多夫群的方法，构造出 $G^{00}/G^{\infty}$ 非交换的例子。
• 应用文献中关于对称群与无限维线性群的结果，证明 $\operatorname{Sym}^\kappa(\Omega)$ 与 $\operatorname{GL}(V)$ 分别是 16-与 128-绝对连通的。
• 在饱和扩张中，通过类型定义的有界指数子群，对拓扑群的紧化进行分类。
• 证明：当以离散拓扑化时，类型-绝对连通性等价于极小几乎周期性，利用Bohr紧化。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于群 $G$，商群 $G^{00}/G^{\infty}$ 是否可能非交换？
• RQ2 哪些群是类型-绝对连通的？该性质与拓扑紧化有何关系？
• RQ3 分裂半单线性群在无限域上的连通分支的模型论结构是什么？
• RQ4 绝对连通性与类型-绝对连通性的概念如何与经典群论和拓扑学相关联？
• RQ5 是否能通过Bohr紧化等拓扑不变量完全刻画类型-绝对连通群的类？

主要发现

• 任意无限域上的分裂半单线性群的有理点群都是绝对连通的。
• 类型-绝对连通群的类恰好与离散拓扑化后Bohr紧化平凡的群类一致，即极小几乎周期群。
• 给出了一个构造，使得 $G^{00}/G^{\infty}$ 非交换，从而肯定地回答了一个开放问题。
• $\operatorname{Sym}^\kappa(\Omega)$ 在不可数基数 $\kappa$ 下是 16-绝对连通的，即使 $\kappa$ 是极限基数亦然。
• 无限维一般线性群 $\operatorname{GL}(V)$ 是 128-绝对连通的，通过 $V$ 的分解中出现的moietous对合性得到证明。
• 所有Hausdorff拓扑群的紧化均被分类为 $G^*/H$ 的形式，其中 $H$ 是 $G^*$ 中类型定义的有界指数子群。