[论文解读] Absolute continuity, supports and idempotent splitting in categorical probability

T. A. Fritz, Tomáš Gonda+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2023

Bayesian Modeling and Causal InferenceComputer Science被引用 3

一句话总结

本文通过在马尔可夫范畴中引入绝对连续性和支集的精细化概念，推进了范畴概率论的发展，建立了一个普遍的幂等元分裂准则。证明了任意两个标准博雷尔空间之间的幂等可测马尔可夫核均可通过另一个标准博雷尔空间实现分裂，为抽象范畴框架下的概率推理提供了基础工具。

ABSTRACT

Markov categories have recently turned out to be a powerful high-level framework for probability and statistics. They accommodate purely categorical definitions of notions like conditional probability and almost sure equality, as well as proofs of fundamental results such as the Hewitt--Savage 0/1 Law, the de Finetti Theorem and the Ergodic Decomposition Theorem. In this work, we develop additional relevant notions from probability theory in the setting of Markov categories. This comprises improved versions of previously introduced definitions of absolute continuity and supports, as well as a detailed study of idempotents and idempotent splitting in Markov categories. Our main result on idempotent splitting is that every idempotent measurable Markov kernel between standard Borel spaces splits through another standard Borel space, and we derive this as an instance of a general categorical criterion for idempotent splitting in Markov categories.

研究动机与目标

• 开发一个概念清晰且不变的范畴框架，用于马尔可夫范畴中的绝对连续性和支集，避免依赖拓扑结构。
• 解决传统支集在测度空间同构下不保持不变的问题，尤其是在连续情形下。
• 在马尔可夫范畴中建立幂等元分裂的一般范畴准则，适用于概率构造。
• 证明任意两个标准博雷尔空间之间的幂等可测马尔可夫核均可通过另一个标准博雷尔空间实现分裂，这是关键的结构性结果。
• 在高层范畴框架中统一并推广基础概率定理（如 de Finetti 定理、遍历分解等）。

提出的方法

• 通过可测态射引入几乎必然相等的扩展定义，使零测集的范畴处理成为可能。
• 通过经由共同态射的因式分解来定义绝对连续性，确保在测度空间同构下保持不变。
• 提出支集的概念：作为捕获全测度的最小可测子对象，且独立于拓扑结构。
• 引入支集完备性的概念，并构造马尔可夫范畴的自由正则支集完备化。
• 应用输入-输出关系函子，关联统计模型与支集，实现统计推断的范畴建模。
• 利用平衡幂等元和 Blackwell 包络构造，建立幂等元分裂的一般范畴准则。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在范畴论中定义绝对连续性，使其在测度空间同构下保持不变？
• RQ2 什么是在范畴论中对概率测度支集的正确推广，能避免对拓扑结构的依赖？
• RQ3 在何种范畴条件下，幂等马尔可夫核可实现分裂？在标准博雷尔空间中是否可保证这一点？
• RQ4 支集的概念能否被完成为一个保持关键概率结构的通用构造？
• RQ5 输入-输出关系函子如何与统计模型及马尔可夫范畴中条件独立性的结构相关联？

主要发现

• 本文证明了任意两个标准博雷尔空间之间的幂等可测马尔可夫核均可通过另一个标准博雷尔空间实现分裂，为范畴概率论提供了强有力的结构性结果。
• 证明了紧致豪斯多夫空间与径向测度的范畴（CHausStoch）是可观测可表示的，确保状态由其对连续函数的积分唯一确定。
• 作者显式构造了两个在 [0,1] 上的测度空间之间的同构，其拓扑支集分别为全集与 [0,1/2]，证明了支集在同构下不保持不变。
• 构造了马尔可夫范畴的自由正则支集完备化，确保每个对象均可以普遍方式获得最小支集对象。
• 证明了输入-输出关系函子保持并反映关键概率结构，从而支持统计实验的范畴建模。
• 利用 Blackwell 包络构造作为关键工具，推导出幂等元的分裂，推广了统计决策理论中的经典结果。