[论文解读] Absolute ruin in the Ornstein-Uhlenbeck type risk model

Ronnie Loeffen, Pierre Patie|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2010

Probability and Risk Models参考文献 28被引用 5

一句话总结

本文为具有恒定利率和子ordinator索赔的Ornstein-Uhlenbeck型风险过程的转移密度建立了谱表示，使得有限时间绝对 ruin 概率和首通过时间能够得到精确表达。关键贡献是在 Lévy 测度在无穷远处满足正则变体条件下，利用过程的极限分布对 ruin 概率进行级数展开。

ABSTRACT

We start by showing that the finite-time absolute ruin probability in the classical risk model with constant interest force can be expressed in terms of the transition probability of a positive Ornstein-Uhlenbeck type process, say X. Our methodology applies to the case when the dynamics of the aggregate claims process is a subordinator. From this expression, we easily deduce necessary and sufficient conditions for the infinite-time absolute ruin to occur. We proceed by showing that, under some technical conditions, the transition density of X admits a spectral type representation involving merely the limiting distribution of the process. As a by-product, we obtain a series expansions for the finite-time absolute ruin probability. On the way, we also derive, for the aforementioned risk process, the Laplace transform of the first-exit time from an interval from above. Finally, we illustrate our results by detailing some examples.

研究动机与目标

• 推导具有恒定利率和子ordinator索赔的 Ornstein-Uhlenbeck 型风险模型中有限时间绝对 ruin 概率的显式表示。
• 基于相关 OU 型过程的转移动态，建立无限时间绝对 ruin 的必要与充分条件。
• 仅使用其极限分布，发展 OU 型过程转移密度的谱型表示。
• 推导从区间首次退出时间的 Laplace 变换，以支持 ruin 时间的分析。
• 在 Lévy 测度满足正则变体假设下，提供 ruin 概率的显式级数展开。

提出的方法

• 在测度 $\mathbb{P}_x^{(r,c)}$ 下，以正的 Ornstein-Uhlenbeck 型过程 $\hat{X}$ 的转移概率表示有限时间绝对 ruin 概率。
• 使用随机微分方程 $\mathrm{d}X_t = (rX_t + c)\mathrm{d}t - \mathrm{d}Z_t$，其中 $Z$ 为子ordinator，来建模具有利率和索赔的风险过程。
• 应用傅里叶反演和 Laplace 变换技术，推导低于 $-c/r$（即绝对 ruin 水平）的首通过时间密度。
• 通过分析特征函数并应用 Karamata 的 Tauberian 与 Abelian 定理，建立 $\hat{X}$ 的转移密度的谱表示。
• 利用 Lévy 测度 $\nu$ 在无穷远处的正则变体性质，假设 $\nu(x,\infty) \sim x^{-\alpha}\ell(x)$，其中 $\alpha \in (0,1)$，推导特征函数的渐近行为。
• 通过特征函数的逆傅里叶变换推导 ruin 概率的级数展开，该展开在 $t > -\frac{1}{r\alpha}\log\cos(\frac{\pi\alpha}{2})$ 时成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有恒定利率和子ordinator索赔的 OU 型风险模型中，绝对 ruin 在有限时间或无限时间发生的条件是什么？
• RQ2 能否仅使用其极限分布，对相关 OU 型过程的转移密度进行谱表示？
• RQ3 该风险过程从区间首次退出时间的 Laplace 变换是什么？
• RQ4 在 Lévy 测度满足正则变体条件下，如何将有限时间绝对 ruin 概率表示为收敛级数？
• RQ5 当 Lévy 测度表现出规则变尾时，ruin 概率的渐近行为如何？

主要发现

• 有限时间绝对 ruin 概率以涉及对偶 OU 型过程转移密度和指数衰减项 $\mathrm{e}^{-rnt}$ 的级数形式表示。
• 通过极限分布和傅里叶反演定理，推导出 $\hat{X}$ 的转移密度的谱表示，该表示在 $t > -\frac{1}{r\alpha}\log\cos(\frac{\pi\alpha}{2})$ 时成立。
• 通过过程的特征函数推导出从区间首次退出时间的 Laplace 变换，从而支持对 ruin 时间分布的进一步分析。
• 当 Lévy 测度满足 $\nu(x,\infty) \sim x^{-\alpha}\ell(x)$ 且 $\alpha \in (0,1)$ 时，特征函数 $\varphi_r(\mathrm{i}u)$ 的渐近行为为 $u^\alpha \ell(u) \frac{\Gamma(1-\alpha)}{\alpha} \cos(\frac{\pi\alpha}{2})$。
• 在条件 $v^\alpha < \cos(\frac{\pi\alpha}{2})$ 下，ruin 概率的级数展开绝对收敛，确保傅里叶反演的可积性。
• OU 型过程的极限分布足以通过谱分解重构完整的转移密度，这是 Lévy 过程理论中的一个非平凡结果。