[论文解读] Absolutely Continuous Invariant Measures of Piecewise Linear Lorenz Maps

Yi Ming Ding, Ai Hua Fan+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 23被引用 5

一句话总结

本文对区间 $[0,1]$ 上的分段线性 Lorenz 映射 $ f_{a,b,c} $ 的绝对连续不变测度（acim）的存在性与性质给出了完整的刻画。证明了 acim 存在当且仅当 $ ac + b(1-c) \geq 1 $，且在映射不共轭于有理旋转时，acim 唯一且具有遍历性；并通过传递性与重整化理论，提供了与勒贝格测度等价性的显式判别准则。

ABSTRACT

Consider piecewise linear Lorenz maps on $[0, 1]$ of the following form \[ f_{a,b,c}(x)= {ll} ax+1-ac & x \in [0, c) b(x-c) & x \in (c, 1].\] We prove that $f_{a,b,c}$ admits an absolutely continuous invariant probability measure (acim) $μ$ with respect to the Lebesgue measure if and only if $f_{a,b,c}(0) \le f_{a,b,c}(1)$, i.e. $ac+(1-c)b \ge 1$. The acim is unique and ergodic unless $f_{a,b,c}$ is conjugate to a rational rotation. The equivalence between the acim and the Lebesgue measure is also fully investigated via the renormalization theory.

研究动机与目标

• 确定分段线性 Lorenz 映射 $ f_{a,b,c} $ 允许绝对连续不变概率测度（acim）的精确条件。
• 利用重整化与传递性准则，研究 acim 与勒贝格测度的等价性。
• 在特殊情形（如对称映射与马尔可夫映射）下，提供 acim 密度的显式公式。
• 解决当 $ ac + b(1-c) = 1 $ 时的动力学行为，区分有理与无理旋转数的情形。
• 基于周期轨道结构与区间映射关系，为满足 $ ac + b(1-c) > 1 $ 的映射建立一个简单的传递性判别准则。

提出的方法

• 使用 Perron-Frobenius 算子 $ P_{a,b,c} $ 分析不变密度，并研究 $ h ∈ L^1([0,1]) $ 的遍历平均 $ A_n(h) $。
• 应用重整化理论，将问题约化为区间 $[f^\nu(c+), f^\nu(c-)]$ 上的自相似结构，其中 $ \nu $ 为周期点的最小周期。
• 基于 $ f^\nu $ 下间断点 $ c $ 的像，推导出传递性判别准则，使用量 $ A = f^\nu(c+) $，$ B = f^\nu(c-) $，以及 $ M = \min\{ \frac{B-c}{c-A}, \frac{c-A}{B-c} \} $。
• 证明 $ f_{a,b,c} $ 是传递的（因此 acim 与勒贝格测度等价）当且仅当 $ M < 1 $ 时 $ ab > 1 + M $，或 $ M = 1 $ 时 $ ab \geq 2 $。
• 通过公式 $ g_{a,b,c}(x) = \frac{1}{\kappa} \sum_{i=0}^{\kappa-1} P_{a,b,c}^i g_*(x) $ 构造 acim 密度，其中 $ g_* $ 是重整化映射 $ f_{a_*,a_*,c_*} $ 的密度。
• 利用 $ \beta $-变换与马尔可夫映射的已知结果，在特殊情形（如 $ f_{a,a,c} $ 与 $ f_{\beta,\alpha,1/\beta} $，其中 $ \alpha = \frac{1}{\beta^{k-1}(\beta-1)} $）下推导出密度的闭式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，分段线性 Lorenz 映射 $ f_{a,b,c} $ 允许绝对连续不变概率测度？
• RQ2 acim 何时与勒贝格测度等价？这种等价性能否在不依赖复杂拓扑不变量的情况下进行刻画？
• RQ3 当 $ f_{a,b,c} $ 不共轭于旋转时，acim 密度的结构是怎样的，特别是当 $ ac + b(1-c) > 1 $ 时？
• RQ4 如何显式计算对称或马尔可夫型分段线性 Lorenz 映射的 acim 密度？
• RQ5 周期点的最小周期 $ \kappa $ 在确定传递性与 acim 结构方面起什么作用？

主要发现

• 当且仅当 $ ac + b(1-c) \geq 1 $ 时，$ f_{a,b,c} $ 存在 acim，当 $ ac + b(1-c) < 1 $ 时则不存在。
• 当 $ ac + b(1-c) = 1 $ 且 $ \log a / \log b $ 为有理数时，映射是有限阶周期的，且对任意密度 $ g $，$ A_n(g) $ 均给出一个不变测度。
• 当 $ ac + b(1-c) = 1 $ 且 $ \log a / \log b $ 为无理数时，acim 唯一存在，其密度有界于 $ (a/b)^{-4} $ 与 $ (a/b)^4 $ 之间。
• 当 $ ac + b(1-c) > 1 $ 时，acim 唯一，且其密度有有界变差。
• acim 与勒贝格测度等价当且仅当 $ f_{a,b,c} $ 是传递的，这恰好发生在 $ M < 1 $ 时 $ ab > 1 + M $，或 $ M = 1 $ 时 $ ab \geq 2 $，其中 $ M = \min\{ \frac{B-c}{c-A}, \frac{c-A}{B-c} \} $。
• 对于马尔可夫情形 $ f_{\beta,\alpha,1/\beta} $，其中 $ \alpha = \frac{1}{\beta^{k-1}(\beta-1)} $，acim 密度为 $ g_{\beta,k}(x) = \frac{1}{\beta-1} \mathbf{1}_{[0,1]}(x) + \sum_{i=1}^k \beta^{i-1} \mathbf{1}_{[0,\beta^{-i}]}(x) $，至多差一个乘性常数。