[论文解读] Absolutely split locally free sheaves on proper $k$-schemes and Brauer--Severi varieties

Saša Novaković|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文通过建立关于射影 $k$-概形的 Picard概形 $\mathrm{Pic}_{X/k}$ 的闭点与不可约分解的绝对分裂（AS）丛的同构类之间的一一对应，对任意完备 $k$-概形上的绝对分裂（AS）向量丛进行了分类。该分类方法被应用于广义 Brauer–Severi 概形，证明了 AS-型——即不可约分解丛的秩的序列——是双有理不变量，并推导出向量丛为 AS-丛的上同调条件，推广了关于 $\mathbb{P}^1$ 和 Brauer–Severi 概形的经典结果。

ABSTRACT

We classify absolutely split vector bundles on proper $k$-schemes. More precise, we prove that the closed points of the Picard scheme are in one-to-one correspondence with indecomposable absolutely split vector bundles. Furthermore, we apply the obtained results to study the geometry of (generalized) Brauer--Severi varieties.

研究动机与目标

• 对任意完备 $k$-概形上的绝对分裂（AS）向量丛进行分类，推广 Grothendieck 在 $\mathbb{P}^1$ 上的分类结果。
• 将此前关于实数域上 Brauer–Severi 概形及一维情形下 AS-丛的结果，推广至具有有限 Picard 群的任意完备 $k$-概形。
• 定义并研究广义 Brauer–Severi 概形的 AS-型，即不可约分解 AS-丛的秩的序列，证明其为双有理不变量。
• 基于 Ottaviani 的分裂准则，推导出广义 Brauer–Severi 概形上向量丛为 AS-丛的上同调条件。

提出的方法

• 在满足 $H^0(X, \mathcal{O}_X) = k$ 的完备 $k$-概形上，建立 Picard 概形 $\mathrm{Pic}_{X/k}$ 的闭点与不可约分解 AS-丛的同构类之间的一一对应。
• 利用 Krull–Schmidt 定理，将任意 AS-丛唯一分解为不可约分解的 AS-丛，从而将分类问题约化为不可约分解的情形。
• 将 AS-型定义为 $p+1$-元组 $(d_0, \dots, d_p)$，其中 $d_j$ 为不可约分解 AS-丛 $\mathcal{M}_{\mathcal{L}^{\otimes j}}$ 的秩，$0 \leq j \leq p-1$，$p$ 为 Brauer–Severi 概形的周期。
• 在 Grassmannian 上应用 Ottaviani 的分裂准则，通过 tautological 商丛 $\mathcal{Q}^\vee$ 上的 Schur 函子的下降性，推导出 $\mathrm{BS}(d,A)$ 上的丛为 AS-丛的上同调条件。
• 利用自同态代数 $\mathrm{End}(\mathcal{M}_{\mathcal{L}})$ 的指标，通过公式 $\mathrm{rk}(\mathcal{M}_{\mathcal{L}^{\otimes j}}) = \mathrm{ind}(\mathrm{End}(\mathcal{M}_{\mathcal{L}})^{\otimes j})$ 计算 $\mathcal{M}_{\mathcal{L}^{\otimes j}}$ 的秩。
• 通过比较 Brauer-等价代数的指标与周期，证明 AS-型在双有理等价下保持不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过 Picard 概形对任意完备 $k$-概形上的绝对分裂向量丛进行分类？
• RQ2 在 $\bar{k}$ 上 Picard 群为无限循环群的完备 $k$-概形上，不可约分解 AS-丛的结构是怎样的？
• RQ3 广义 Brauer–Severi 概形的 AS-型如何反映其几何性质与双有理不变量？
• RQ4 广义 Brauer–Severi 概形上的向量丛满足何种上同调条件时为 AS-丛？
• RQ5 双有理等价的广义 Brauer–Severi 概形是否具有相同的 AS-型？

主要发现

• 在满足 $H^0(X, \mathcal{O}_X) = k$ 的完备 $k$-概形上，Picard 概形 $\mathrm{Pic}_{X/k}$ 的闭点与不可约分解 AS-丛的同构类之间存在一一对应。
• 对于满足 $\mathrm{Pic}(X \otimes_k \bar{k}) \simeq \mathbb{Z}$ 的完备 $k$-概形 $X$，所有不可约分解 AS-丛均可表示为 $\mathcal{J}^{\otimes a} \otimes \mathcal{M}_{\mathcal{L}^{\otimes j}}$ 的形式，其中 $a \in \mathbb{Z}$，$0 \leq j \leq r-1$，$r$ 为周期。
• 不可约分解 AS-丛 $\mathcal{M}_{\mathcal{L}^{\otimes j}}$ 的秩由公式 $\mathrm{rk}(\mathcal{M}_{\mathcal{L}^{\otimes j}}) = \mathrm{ind}(\mathrm{End}(\mathcal{M}_{\mathcal{L}})^{\otimes j})$ 给出。
• Brauer–Severi 概形的 AS-型，即 $p+1$-元组 $(d_0, \dots, d_p)$（其中 $d_j$ 为 $\mathcal{M}_{\mathcal{L}^{\otimes j}}$ 的秩），是双有理不变量。
• 两个广义 Brauer–Severi 概形 $\mathrm{BS}(d,A)$ 与 $\mathrm{BS}(d,B)$ 双有理等价当且仅当它们具有相同的 AS-型。
• 广义 Brauer–Severi 概形 $\mathrm{BS}(d,A)$ 上的向量丛 $\mathcal{E}$ 是 AS-丛当且仅当对所有 $0 < r < \dim \mathrm{BS}(d,A)$，所有 $t \in \mathbb{Z}$，以及所有满足 $0 \leq \lambda_i \leq n-d$，$s \leq d$ 的分拆 $\lambda_1 \geq \cdots \geq \lambda_s$，都有 $H^r(\mathrm{BS}(d,A), \mathcal{P}_{\lambda_1} \otimes \cdots \otimes \mathcal{P}_{\lambda_s} \otimes \mathcal{E}(t)) = 0$。