[论文解读] Absorption and fixation times for evolutionary processes on graphs

Fernando Alcalde Cuesta, Gustavo Guerberoff+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2026

Evolutionary Game Theory and Cooperation被引用 0

一句话总结

本论文分析在伯努利和二项繁殖下，图结构上增殖与固定时间的吸收时间和固定时间，并识别控制固定概率与时间的临界值 p_c 和 p_t，推导完整、循环和星形图的精确时间。

ABSTRACT

In this paper, we study the absorption and fixation times for evolutionary processes on graphs, under different updating rules. While in Moran process a single neighbour is randomly chosen to be replaced, in proliferation processes other neighbours can be replaced using Bernoulli or binomial draws depending on $0 < p \leq 1$. There is a critical value $p_c$ such that the proliferation is advantageous or disadvantageous in terms of fixation probability depending on whether $p > p_c$ or $p < p_c$. We clarify the role of symmetries for computing the fixation time in Moran process. We show that the Maruyama-Kimura symmetry depend on the graph structure induced in each state, implying asymmetry for all graphs except cliques and cycles. There is a fitness value, not necessarily $1$, beyond which the fixation time decreases monotonically. We apply Harris' graphical method to prove that the fixation time decreases monotonically depending on $p$. Thus there exists another value $p_t$ for which the proliferation is advantageous or disadvantageous in terms of time. However, at the critical level $p=p_c$, the proliferation is highly advantageous when $r o +\infty$.

研究动机与目标

• 在不同更新规则下，激励并建模突变体在图上的增殖。
• 描述伯努利与二项繁殖的吸收与固定时间。
• 识别在固定概率与时间上发生转变的关键繁殖参数。
• 探索对称性与图结构对固定时间的单调性与时间-概率关系的影响。

提出的方法

• 在图上定义两种更新方案（伯努利和二项）以及适应度 r 的繁殖模型。
• 推导并求解吸收与固定时间的线性系统；与 Moran 过程的时间进行比较。
• 在伯努利繁殖下，给出完整图、循环图和星形图的精确吸收与固定时间。
• 应用 Harris 的图法证明固定时间相对于 p 的单调性。
• 给出适应度 r 趋向无穷时的极限行为并确定临界 p_c 与 p_t 值。
• 给出秩为 6 的图的补充推导与数值。

(a) Mean absorption time $\tau^{M}_{1}(r)$

实验结果

研究问题

• RQ1 在图上伯努利与二项繁殖的吸收与固定时间是什么？
• RQ2 固定时间在不同图结构下与 Moran 过程相比如何？
• RQ3 决定固定概率与时间相变的临界值 p_c 与 p_t 是什么？
• RQ4 对称性与图结构如何影响固定时间的单调性及时间-概率关系？

主要发现

• 存在一个临界繁殖值 p_c，使得增殖在固定概率上有利或不利，取决于 p>p_c 还是 p<p_c。
• 存在第二个临界值 p_t，使固定时间速率随 p 而改变，从而在 Bernoulli/二项繁殖与 Moran 之间形成三个区域。
• 在极限 r→∞ 时，p=p_c 处的固定与吸收时间极为有利，且精确的极限取决于图的类型（完整图、循环图、星形图）。
• 对于完整图，在 p=p_c 和 r→∞ 时，吸收/固定时间与 (N−1)H_{N−1} 相关；循环图和星形图也给出类似的明确极限。
• G 对称性（由图结构引发的对称性）和 Harris 的图法用于证明固定时间相对于 p 的单调性。
• 给出完整、循环和星形图的解析表达与极限，补充材料提供秩为 6 的所有图的细节。

(b) Mean fixation time $T^{M}_{1}(r)$