[论文解读] Abstract factorials

Angelo B. Mingarelli|arXiv (Cornell University)|May 29, 2007

Rings, Modules, and Algebras参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文提出了一种在正整数子集上的抽象阶乘的一般性框架，通过阶乘集来定义，并证明了任意此类抽象阶乘的倒数之和总是收敛到一个无理数。该理论具有广泛适用性，利用半群结构和广义阶乘函数的凹性条件，证明了涉及素数、斐波那契数、高度合数和除数函数的级数的无理性。

ABSTRACT

A commutative semigroup of abstract factorials is defined in the context of the ring of integers. We study such factorials for their own sake, whether they are or are not connected to sets of integers. Given a subset X of the positive integers we construct a "factorial set" with which one may define a multitude of abstract factorials on X. We study the possible equality of consecutive factorials, a dichotomy involving the limit superior of the ratios of consecutive factorials and we provide many examples outlining the applications of the ensuing theory; examples dealing with prime numbers, Fibonacci numbers, and highly composite numbers among other sets of integers. One of our results states that given any abstract factorial the series of reciprocals of its factorials always converges to an irrational number. Thus, for example, for any positive integer k the series of the reciprocals of the k-th powers of the cumulative product of the divisors of the numbers from 1 to n is irrational.

研究动机与目标

• 通过阶乘集在正整数的子集上定义一类广义抽象阶乘，扩展至经典阶乘之外的范围。
• 建立任意抽象阶乘序列的倒数之和总是无理数的结论，无论其底层集合为何。
• 在抽象阶乘上建立半群结构，以推导组合阶乘序列的无理性结果。
• 提供一个统一框架，包含已知的广义阶乘（如Bhargava的）并扩展至新类别，如除数函数和斐波那契乘积。
• 证明涉及素数、高度合数及累积除数乘积的特定级数的无理性。

提出的方法

• 将抽象阶乘定义为映射 $!_a: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}^+$，满足最小条件，确保在乘法下封闭且与二项式系数相容。
• 从任意子集 $X \subseteq \mathbb{Z}^+$ 构造阶乘集，从而可从单一集合生成无穷多个抽象阶乘。
• 利用抽象阶乘的半群性质，证明形如 $\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{\prod_{j=1}^k n!_j^{s_j}}$ 的和的无理性，其中 $s_j \in \mathbb{N}$，不全为零。
• 对连续阶乘比值的上极限应用二分法，以分析增长行为并避免出现无限长的相等阶乘序列。
• 利用函数 $f: \mathbb{Z}^+ \times \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{Z}^+$ 的凹性条件（如 $f(n,q) = \binom{n+q-1}{q}$），以确保广义二项式系数的整数性，并证明相关级数的无理性。
• 基于部分和的积分逼近进行反证法，证明无理性，特别是当假设总和为有理数时，可推出 $\alpha_k < 1$

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在正整数的任意子集上构建一个广义抽象阶乘理论，以推广经典阶乘及已知的广义阶乘？
• RQ2 在何种条件下，抽象阶乘序列的倒数之和收敛于无理数？
• RQ3 能否利用抽象阶乘的半群结构证明组合阶乘级数的无理性？
• RQ4 定义阶乘增长的函数的凹性在确保广义二项式系数整数性方面起什么作用？
• RQ5 特定序列（如素数、斐波那契数或高度合数）是否会产生其倒数级数为无理数的抽象阶乘？

主要发现

• 无论底层集合或构造方式如何，任意抽象阶乘序列的倒数之和总是收敛于一个无理数。
• 对任意正整数 $b, q, k$，级数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n! \, q^{\sum_{j=1}^n d(j)}}$ 是无理数，其中 $d(j)$ 表示 $j$ 的因数个数。
• 级数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{p_n!}$（$p_n$ 为第 $n$ 个素数）是无理数，同理 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\mathcal{F}(n)^k}$（$\mathcal{F}(n)$ 为前 $n$ 个斐波那契数的乘积）也是无理数。
• 对任意 $q \in \mathbb{Z}^+$ 及任意满足 $f(x+y,q) \geq f(x,q) + f(y,q)$ 的函数 $f$，级数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{q^{f(n,q)} \, n!}$ 是无理数，包括 $f(n,q) = \binom{n+q-1}{q}$ 的情形。
• 当 $h_i$ 为高度合数时，级数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\prod_{i=1}^n h_i^{\lfloor n/i \rfloor}}$ 是无理数，这是由于其阶乘集具有自阶乘性质。
• 广义二项式系数 $\binom{n}{k}_a = \left(\frac{n!}{k!}\right)^{qk} \cdot \left(\frac{n!}{(n-k)!}\right)^{q(n-k)}$ 是整数，当 $n!_a = n!^{qn}$ 时，确保了抽象阶乘框架的有效性。