[论文解读] Abstract multiplicity theorems and applications to critical growth problems

Kanishka Perera|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2023

Nonlinear Partial Differential Equations被引用 4

一句话总结

本文利用 $Η_2$-上同调指标建立了抽象多重解定理，证明了临界增长 $p$-拉普拉斯和 $(p,q)$-拉普拉斯问题在所有充分大的参数值 $\lambda > 0$ 下均存在任意多组非平凡解。关键贡献在于，基于上同调指标构造的特征值序列，给出了确保 $m$ 组不同解对存在的 $\lambda$ 的显式下界，且当 $\lambda \to \infty$ 时解的数量趋于无穷。即使在半线性情形 $p=2$ 下，结果亦为新发现。

ABSTRACT

We prove some abstract multiplicity theorems that can be used to obtain multiple nontrivial solutions of critical growth $p$-Laplacian and $(p,q)$-Laplacian type problems. We show that the problems considered here have arbitrarily many solutions for all sufficiently large values of a certain parameter $λ> 0$. In particular, the number of solutions goes to infinity as $λ o \infty$. Moreover, we give an explicit lower bound on $λ$ in order to have a given number of solutions. This lower bound is in terms of a sequence of eigenvalues constructed using the ${\mathbb Z}_2$-cohomological index. This is a consequence of the fact that our abstract multiplicity results make essential use of the piercing property of the cohomological index, which is not shared by the genus. Our result for the $p$-Laplacian is new even in the semilinear case $p = 2$.

研究动机与目标

• 解决长期悬而未决的公开问题：临界增长 $p$-拉普拉斯和 $(p,q)$-拉普拉斯问题在 $\lambda > 0$ 的大参数值下是否具有多个解。
• 建立基于 $\mathbb{Z}_2$-上同调指标的抽象多重解定理，以确保存在多个非平凡解。
• 建立 $\lambda$ 的显式下界，以保证给定数量 $m$ 的不同解对。
• 通过证明当 $\lambda \to \infty$ 时解的数量趋于无穷，拓展了 Brézis-Nirenberg 和 García Azorero-Peral 问题的先前结果。
• 提出一种新框架，利用上同调指标的穿刺性质，该性质强于基于亏格的方法。

提出的方法

• 引入基于 $\mathbb{Z}_2$-上同调指标的抽象多重解定理（定理 2.1、2.4、2.5），通过穿刺性质确保多个临界点的存在。
• 定义一个基于 $\mathbb{Z}_2$-上同调指标的特征值序列 $\lambda_m$，该序列无界且随 $m$ 增大而递增，是 $\lambda$ 下界的关键参数。
• 将抽象定理应用于 $p$-拉普拉斯问题 $-\Delta_p u = \lambda |u|^{r-2}u + |u|^{p^* - 2}u$ 在有界区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ 上的情形，其中 $1 < p < N$，$p < r < p^*$。
• 利用索伯列夫不等式和霍尔德不等式控制能量泛函中的非线性项，确保当 $c < \frac{1}{N} S^{N/p}$ 时 $(\text{PS})_c$ 条件成立。
• 推导出 $\lambda$ 的显式下界，其表达式包含 $\lambda_m$、体积 $|\Omega|$、最佳索伯列夫常数 $S$ 以及指数 $p, r, p^*$，以保证存在 $m$ 组不同的非平凡解对。
• 将相同框架应用于 $(p,q)$-拉普拉斯问题 $-\Delta_p u - \Delta_q u = \lambda |u|^{r-2}u + |u|^{p^* - 2}u$，其中 $1 < q < p < N$，$p \leq r < p^*$，并获得类似的多重解结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于 $\mathbb{Z}_2$-上同调指标的抽象多重解定理，证明临界增长 $p$-拉普拉斯问题存在任意多组非平凡解？
• RQ2 临界 $p$-拉普拉斯问题 $-\Delta_p u = \lambda |u|^{r-2}u + |u|^{p^* - 2}u$ 在 $\Omega$ 中的解的数量是否随 $\lambda \to \infty$ 而趋于无穷？
• RQ3 保证 $m$ 组不同非平凡解对存在的 $\lambda$ 的显式下界是什么？
• RQ4 该抽象框架能否推广至临界增长的 $(p,q)$-拉普拉斯问题，且是否产生相同的多重解行为？
• RQ5 上同调指标方法是否优于基于亏格的方法，特别是因其具有穿刺性质？

主要发现

• 临界 $p$-拉普拉斯问题 $-\Delta_p u = \lambda |u|^{r-2}u + |u|^{p^* - 2}u$ 在 $\Omega$ 中的非平凡解数量随 $\lambda \to \infty$ 而趋于无穷，即使在半线性情形 $p=2$ 下亦成立。
• 对任意 $m \in \mathbb{N}$，当 $\lambda > r|\Omega|^{r/p - 1} \sup_{\tau > 0} \left[ \frac{\lambda_m}{p\tau^{r-p}} - \frac{S^{N/p}}{N\tau^r} - \frac{1}{p^* |\Omega|^{p/(N-p)}} \tau^{p^* - r} \right]$ 时，$p$-拉普拉斯问题具有 $m$ 组不同的非平凡解对。
• $(p,q)$-拉普拉斯问题 $-\Delta_p u - \Delta_q u = \lambda |u|^{r-2}u + |u|^{p^* - 2}u$（其中 $1 < q < p < N$，$p \leq r < p^*$）也具有相同的多重解结果，对大 $\lambda$ 保证存在 $m$ 组不同的非平凡解对。
• $\lambda$ 的下界随 $m$ 增大而增加，因为 $\lambda_m \to \infty$ 当 $m \to \infty$，这证实了随着 $\lambda$ 增大，解的数量无界增长。
• 基于上同调指标的特征值序列 $\lambda_m$ 是证明的关键，因其穿刺性质可实现多个临界点的构造，而亏格不具备此特性。
• 抽象多重解定理为新成果，不仅适用于特定问题，还为通过拓扑指标理论证明临界增长问题中的多重解提供了一般性框架。