[论文解读] Abstract numeration systems on bounded languages and multiplication by a constant

Émilie Charlier, Michel Rigo+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2007

semigroups and automata theory参考文献 9被引用 11

一句话总结

本文研究了在至少包含三个字母的有界语言上构建的抽象计数系统中的 S-可识别性。证明了对任意整数 λ ≥ 2 的乘法不保持 S-可识别性，即总存在一个 S-可识别集 X，使得 λX 不是 S-可识别的。关键洞察在于：有界语言中的整数表示与基于二项式系数的组合计数系统之间存在双射关系。

ABSTRACT

A set of integers is $S$-recognizable in an abstract numeration system $S$ if the language made up of the representations of its elements is accepted by a finite automaton. For abstract numeration systems built over bounded languages with at least three letters, we show that multiplication by an integer $λ\ge2$ does not preserve $S$-recognizability, meaning that there always exists a $S$-recognizable set $X$ such that $λX$ is not $S$-recognizable. The main tool is a bijection between the representation of an integer over a bounded language and its decomposition as a sum of binomial coefficients with certain properties, the so-called combinatorial numeration system.

研究动机与目标

• 研究在有界语言上构建的抽象计数系统中，S-可识别集在乘以常数 λ ≥ 2 时的封闭性质。
• 确定将可识别集中元素乘以 λ 后是否仍保持可识别性。
• 利用基于二项式系数的组合计数系统，分析在有界语言中乘以 λ 后整数表示的结构行为。
• 在抽象计数系统中，建立指数语言与多项式语言之间关于乘法封闭性的根本差异。
• 提供一个一般性证明，表明对于具有 ℓ ≥ 3 个字母的有界语言，S-可识别性在乘以 λ ≥ 2 时不被保持。

提出的方法

• 利用有界语言中的表示与基于二项式系数的组合计数系统之间的双射关系。
• 采用有界语言 Bℓ = a₁*⋯aℓ* 中单词的家谱（字典序）排序，定义表示映射 repℓ(n)。
• 将估值映射 valℓ 定义为 repℓ 的逆映射，将单词映射为其整数索引。
• 通过基于二项式系数同余关系的剩余类 Rᵢ,ₖ，分析乘以 λ = βℓ 对整数表示的影响。
• 应用模运算和二项式系数的性质，证明在乘以 βℓ 后，数位分布具有周期性。
• 使用自动机理论推理，论证当 ℓ ≥ 3 时，一个正则语言在乘以 λ 后的像无法保持正则性，原因在于某些位置的数位增长无界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有 ℓ ≥ 3 个字母的有界语言上构建的抽象计数系统中，乘以常数 λ ≥ 2 是否保持 S-可识别性？
• RQ2 有界语言中整数表示的何种结构特性导致 S-可识别集在乘以 λ 后的像不再是 S-可识别的？
• RQ3 基于二项式系数的组合计数系统与有界语言中整数表示之间有何关系？
• RQ4 字母表长度 ℓ 在决定乘以 λ 是否保持可识别性方面起什么作用？
• RQ5 能否通过二项式系数同余关系，对乘以 λ 后数位分布的周期性或非周期性进行刻画？

主要发现

• 对于任意基于至少包含三个字母的有界语言构建的抽象计数系统 S，乘以 λ ≥ 2 不保持 S-可识别性。
• 存在至少一个 S-可识别集 X，使得 λX 不是 S-可识别的，从而证明 S-可识别性在乘以 λ ≥ 2 时不封闭。
• 该证明依赖于有界语言中整数表示与特定约束下二项式系数和分解之间的双射关系。
• 乘以 βℓ 会在足够大的索引下导致表示中数位计数呈现周期性，但这种周期性无法保持语言的正则性。
• 对于满足引理 7 条件的 β，βℓmᵢ,ₖ 表示中 b 和 c 的数量在长度为 β^{ℓ−1} 的区间内保持不变，而 a 的数量每周期增加 βℓ。
• 当 λ = βℓ 且 ℓ ≥ 3 时，λX 的表示语言不是正则的，原因在于前导 a 的数量无界增长，且后缀中数位转换不规则。