[论文解读] Abstract Vergleichsstellensätze for preordered semifields and semirings I

T. A. Fritz|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2020

Fuzzy Logic and Control Systems被引用 4

一句话总结

本文为预序半域和半环建立了两个抽象的 Vergleichsstellensätze，证明了半域上的预序是所有全序扩张的交集，并通过到热带实数的同态，推导出 Strassen 与 Krivine–Kadison–Dubois 的 Positivstellensätze 的非阿基米德推广。这些结果统一并扩展了实代数中超越域与环的基础分离定理。

ABSTRACT

Real algebra is usually thought of as the study of certain kinds of preorders on fields and rings. Among its core themes are the separation theorems known as Positivstellensätze. However, there is a nascent subfield of real algebra which studies preordered semirings and semifields, which is motivated by applications to probability, graph theory and theoretical computer science, among others. Here, we contribute to this subfield by developing a number of foundational results for it, with two abstract Vergleichsstellensätze being our main theorems. Our first Vergleichsstellensatz states that every semifield preorder is the intersection of its total extensions. We apply this to derive our second main result, a Vergleichsstellensatz for certain non-Archimedean preordered semirings in which the homomorphisms to the tropical reals play an important role. We show how this result recovers the existing Vergleichsstellensatz of Strassen and (through the latter) the classical Positivstellensatz of Krivine--Kadison--Dubois.

研究动机与目标

• 为缺乏加法逆元、在概率论、图论与复杂性理论中具有核心地位的预序半域与半环中的实代数发展基础工具。
• 将经典的分离定理（Positivstellensätze）推广至非阿基米德、非域的设定，其中正锥无法刻画预序。
• 为预序半域建立一个 Vergleichsstellensatz，表明预序等于所有扩展它的全序半域预序的交集。
• 通过到热带实数的同态，为预序半环推导出一个非阿基米德的 Vergleichsstellensatz，作为已知结果的特例。

提出的方法

• 通过一个新颖的多项式恒等式（引理 5.1）证明每个预序半域的预序都是其所有全序扩张的交集，推广了经典域的结果。
• 利用序可消去性与拟补元，将问题约化到 Strassen 的 Vergleichsstellensatz 可适用的设定。
• 在子半环中使用几何级数的叠缩论证，证明对所有 $ \varepsilon > 0 $ 有 $ x \leq y + \varepsilon $，在严格不等式条件下推出 $ x \leq y $。
• 将乘法阿基米德的全序半域表征为可序嵌入到 $ \mathbb{R}_+ $、$ \mathbb{R}_+^{\mathrm{op}} $、$ \mathbb{TR}_+ $ 或 $ \mathbb{TR}_+^{\mathrm{op}} $。
• 将主要定理应用于在阿基米德情形下将 Krivine–Kadison–Dubois 的 Positivstellensatz 归约为 Strassen 的结果。
• 利用热带谱空间 $ \mathsf{TSper}(S) $ 的紧致性，将不等式从 $ \phi(x) \leq \phi(y) $ 加强为 $ \phi(x + \varepsilon) < \phi(y) $，从而实现可消去。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将分离定理（Vergleichsstellensätze）从预序环与域推广至预序半域与半环？
• RQ2 全序扩张在刻画无加法逆元的半域上的预序中起什么作用？
• RQ3 能否通过以热带实数为像，将 Strassen 的 Vergleichsstellensatz 扩展至非阿基米德的预序半环？
• RQ4 半域中正锥的缺失为何要求采用与经典 Positivstellensätze 不同形式的分离定理？
• RQ5 在半环设定下，Krivine–Kadison–Dubois 的 Positivstellensatz 能在多大程度上作为更一般 Vergleichsstellensatz 的推论被导出？

主要发现

• 任何预序半域上的预序都等于所有扩展它的全序半域预序的交集，确立了一个基本的结构结果。
• 每个乘法阿基米德的全序半域都可序嵌入到 $ \mathbb{R}_+ $、$ \mathbb{R}_+^{\mathrm{op}} $、$ \mathbb{TR}_+ $ 或 $ \mathbb{TR}_+^{\mathrm{op}} $ 之一，推广了经典结果中嵌入到 $ \mathbb{R} $ 的情形。
• 通过到热带实数的同态，为预序半环建立了非阿基米德的 Vergleichsstellensatz，作为特例恢复了 Strassen 的结果。
• Krivine–Kadison–Dubois 的 Positivstellensatz 作为主要定理的推论被导出，表明经典结果是该抽象框架的特例。
• 证明技术依赖于一个新颖的多项式恒等式（引理 5.1）以及在拟补、序可消去子半环中使用几何级数的叠缩论证。
• 利用热带谱空间 $ \mathsf{TSper}(S) $ 推导出严格不等式，实现序可消去，并从对所有 $ \phi $ 有 $ \phi(x) < \phi(y) $ 证明 $ x \leq y $。