[论文解读] Abstract Voronoi-Like Graphs: Extending Delaunay’s Theorem and Applications

Evanthia Papadopoulou|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Computational Geometry and Mesh Generation被引用 1

一句话总结

本文在抽象平分线系统上引入了类似Voronoi的图，证明在可接受条件下，此类图等价于抽象Voronoi图——为Delaunay定理提供了一个抽象对偶。本文提出了一种线性期望时间的随机化算法，从其叶节点的循环顺序计算类似Voronoi的树与森林，从而实现对约束Delaunay三角剖分的高效动态更新。

ABSTRACT

Any system of bisectors (in the sense of abstract Voronoi diagrams) defines an arrangement of simple curves in the plane. We define Voronoi-like graphs on such an arrangement, which are graphs whose vertices are locally Voronoi. A vertex $v$ is called locally Voronoi, if $v$ and its incident edges appear in the Voronoi diagram of three sites. In a so-called admissible bisector system, where Voronoi regions are connected and cover the plane, we prove that any Voronoi-like graph is indeed an abstract Voronoi diagram. The result can be seen as an abstract dual version of Delaunay's theorem on (locally) empty circles. Further, we define Voronoi-like cycles in an admissible bisector system, and show that the Voronoi-like graph induced by such a cycle $C$ is a unique tree (or a forest, if $C$ is unbounded). In the special case where $C$ is the boundary of an abstract Voronoi region, the induced Voronoi-like graph can be computed in expected linear time following the technique of [Junginger and Papadopoulou SOCG'18]. Otherwise, within the same time, the algorithm constructs the Voronoi-like graph of a cycle $C'$ on the same set (or subset) of sites, which may equal $C$ or be enclosed by $C$. Overall, the technique computes abstract Voronoi (or Voronoi-like) trees and forests in linear expected time, given the order of their leaves along a Voronoi-like cycle. We show a direct application in updating a constraint Delaunay triangulation in linear expected time, after the insertion of a new segment constraint, simplifying upon the result of [Shewchuk and Brown CGTA 2015].

研究动机与目标

• 将Delaunay的局部到全局原理推广至非点状站点（如线段、圆盘和多边形）的抽象Voronoi图。
• 定义并表征类似Voronoi的图，作为捕捉抽象平分线排列中局部Voronoi性质的结构。
• 开发一种从其叶节点的循环顺序计算类似Voronoi的树与森林的线性期望时间算法。
• 将该框架应用于高效更新插入线段后的约束Delaunay三角剖分。

提出的方法

• 通过局部Voronoi顶点定义类似Voronoi的图——即出现在三个定义站点的Voronoi图中的顶点。
• 证明在可接受的平分线系统中，任意类似Voronoi的图均为抽象Voronoi图，从而将Delaunay定理推广至抽象设定。
• 引入类似Voronoi的环（站点环）作为简单环，其中所有内部顶点均为度数为2的局部Voronoi顶点。
• 采用增量构造技术，按随机顺序插入弧段，并使用反向分析法控制期望时间复杂度。
• 应用Chew算法删除插入过程中生成的辅助弧段，确保顺序无关性，并实现每步的期望O(1)摊还时间。
• 利用环上叶节点的顺序，在线性期望时间内重构类似Voronoi的图，即使该环并非完整的Voronoi区域。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，抽象平分线系统上的类似Voronoi图对应于完整的抽象Voronoi图？
• RQ2 Delaunay的局部到全局原理能否推广至非点状站点的抽象Voronoi图？
• RQ3 能否从其叶节点的循环顺序在线性期望时间内计算类似Voronoi的树与森林？
• RQ4 如何使类似Voronoi图的增量构造在生成辅助面的情况下仍保持稳健与高效？

主要发现

• 在可接受的平分线系统中，任意类似Voronoi的图均为抽象Voronoi图，确立了对Delaunay定理的抽象对偶。
• 当给定其叶节点在类似Voronoi环上的循环顺序时，该算法可在线性期望时间内计算类似Voronoi的树与森林。
• 当通过Chew算法删除辅助弧段时，每步插入的期望时间复杂度为O(1)，这是由于反向分析及每个顶点的收费上限有限。
• 该方法可高效实现插入线段后对约束Delaunay三角剖分的动态更新，简化了先前的结果。
• 在增量构造过程中，类似Voronoi图中的任一顶点最多被收费两次，从而确保总成本为线性。
• 即使环并非完整的Voronoi区域，该框架依然适用，方法是计算一个相关环C′，其可能被包含于或等于原环。