[论文解读] Abundance of one dimensional non uniformly hyperbolic attractors for surface endomorphisms

Pierre Berger|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 7被引用 7

一句话总结

本文证明了在一大类 $C^2$-小扰动的曲面自同态中，物理的、SRB测度的存在性，推广了Jakobson与Benedicks-Carleson定理。通过发展基于Yoccoz拼图的精细组合形式化方法，并结合新的几何与分析技术，作者证明了在非一致双曲情形下，此类测度对正勒贝格测度的参数集也存在。

ABSTRACT

For every $C^2$-small function $B$, we prove that the map $(x,y)\mapsto (x^2+a,0)+B(x,y,a)$ leaves invariant a physical, SRB probability measure, for a set of parameters $a$ of positive Lebesgue measure. When the perturbation $B$ is zero, this is the Jakobson Theorem; when the perturbation is a small constant times $(0,x)$, this is the celebrated Benedicks-Carleson Theorem. In particular, a new proof of the last theorem is given, based on devellopment of the combinatorial formalism of the Yoccoz puzzles. By adding new geometrical and combinatorial ingredients, and restructuring classic analytical ideas, we are able to carry out our proof in the $C^2$-topology, even when the underlying dynamics are given by endomorphisms.

研究动机与目标

• 将经典的Jakobson与Benedicks-Carleson定理推广至更广泛的曲面自同态类，其扰动为$C^2$-光滑。
• 在非一致双曲系统中，为正勒贝格测度的参数集建立物理的、SRB概率测度的存在性。
• 基于Yoccoz拼图发展一个稳健的组合框架，以分析自同态的参数空间。
• 在非可逆动力系统的$C^2$-拓扑框架下，统一并重构经典分析技术。
• 通过几何与组合创新，提供Benedicks-Carleson定理的新证明。

提出的方法

• 作者采用Yoccoz拼图形式化的改进版本，以分析参数空间与动力系统的组合结构。
• 他们引入新的几何要素，以处理自同态中固有的非可逆性与非一致双曲性。
• 证明完全在$C^2$-拓扑下进行，允许比以往方法更强的正则性假设。
• 采用参数空间的新型分解，以识别出系统允许SRB测度的正测度集合。
• 该方法结合经典动力系统技术与现代组合工具，以控制极限集的几何结构。
• 该构造依赖于通过迭代组合控制来调控导数的增长与原像的几何结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意$C^2$-小函数$B$，映射$(x,y) \mapsto (x^2 + a, 0) + B(x,y,a)$是否在正勒贝格测度的参数集$a$上存在物理的、SRB概率测度？
• RQ2 能否在$C^2$-设定下，基于Yoccoz拼图形式化重新证明Benedicks-Carleson定理？
• RQ3 在$C^2$-扰动下，如何控制非一致双曲吸引子的组合与几何结构？
• RQ4 为将经典结果推广至非可逆自同态，需要哪些新的分析与组合工具？
• RQ5 Yoccoz拼图框架在多大程度上可被适配以处理非可逆系统中的非一致双曲性？

主要发现

• 对每个$C^2$-小函数$B$，映射$(x,y) \mapsto (x^2 + a, 0) + B(x,y,a)$在正勒贝格测度的参数集$a$上存在物理的、SRB概率测度。
• 该证明通过基于Yoccoz拼图的组合形式化，提供了Benedicks-Carleson定理的新推导。
• 作者在$C^2$-拓扑下，为曲面自同态建立了非一致双曲吸引子与SRB测度存在的结果。
• 该方法通过新颖的几何与组合控制，成功应对了非可逆性与非一致双曲性的挑战。
• 所发展的框架使得对具有非一致双曲性的$C^2$-光滑自同态的参数空间进行系统分析成为可能。
• 结果表明，即使动力系统不具有一致双曲性，SRB测度在$C^2$-扰动下依然保持不变。