[论文解读] ACC for minimal log discrepancies of exceptional singularities

Jingjun Han, Jihao Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 50被引用 40

一句话总结

简要结论：本文证明了异常奇点的 mld 的 ACC，以及具有 DCC 系数的成对存在 n-补全，并引入实系数的 (n,Γ0)-可分解 ℝ-补全。

ABSTRACT

We prove the existence of $n$-complements for pairs with DCC coefficients and the ACC for minimal log discrepancies of exceptional singularities. In order to prove these results, we develop the theory of complements for real coefficients. We introduce $(n,Γ_0)$-decomposable $\mathbb{R}$-complements, and show its existence for pairs with DCC coefficients.

研究动机与目标

• 激励关于 mlds 的 ACC 猜想及其在极小模型计划中的作用。
• 将补全的理论扩展到具有 DCC 系数的成对。
• 发展实系数补全及其分解的新技术。
• 展示有界性性质及其在异常奇点中的应用。

提出的方法

• 定义并研究 ε-plt 吹起（blow-ups）及异常奇点。
• 发展实系数补全理论并引入 (n,Γ0)-可分解 ℝ-补全。
• 通过归约到有限系数集，证明具有 DCC 系数的 lc 对存在 n-补全。
• 建立局部代数基本群及相关不变量的有界性结果。
• 应用 BBAB 型有界性论证以控制差异和体积。

实验结果

研究问题

• RQ1 在任意维度下，异常奇点的最小对数偏差的 ACC 是否成立？
• RQ2 对于具有 DCC 系数的成对，n-补全是否存在，不仅限于有限系数，在何种分解下？
• RQ3 ε-plt 吹起与异常奇点如何与有界性和补全理论相互作用？
• RQ4 控制 Fano 型簇 ℝ-补全的统一结构（多胞体）有哪些？

主要发现

• 证明具有 DCC 系数的异常奇点的 mld 的 ACC；给出 ACC 集并在 Gamma 有限时可能的聚点为 0。
• 在 ℝ-补充假设下，证明来自 Z 的有限 Fano 型 lc 对存在 n-补全。
• 引入 (n,Γ0)-可分解 ℝ-补全并证明其在具有 DCC 系数的成对上的存在性。
• 对允许 ε-plt 吹起的 ε0-lc 胚芽的局部代数基本群阶的有界性。
• 为 ε0-lc 胚芽且具有 ε-plt 吹起的对数偏差的离散行为与有限集合。
• 给出单调 klt 局部补全的应用，以及异常奇点与异常成对之间的联系。