[论文解读] Acceleration of Source Iteration using the Dynamic Mode Decomposition

Ryan G. McClarren, Terry Haut|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2018

Model Reduction and Neural Networks参考文献 7被引用 7

一句话总结

该论文提出了一种基于数据的加速方法，用于离散 ordinates 输运计算中的源迭代，利用动态模态分解（DMD）识别并去除缓慢衰减的模态。通过存储若干次迭代中的标量通量，并应用SVD以估计主导收敛模态，该方法将输运 sweeps 数量减少了一个数量级，且收敛性与散射比无关，即使在非均质和二维问题上也有效。

ABSTRACT

We present a novel acceleration technique for improving the convergence of source iteration for discrete ordinates transport calculations. Our approach uses the idea of the dynamic mode decomposition (DMD) to estimate the slowly decaying modes from source iteration and remove them from the solution. The memory cost of our acceleration technique is that the scalar flux for a number of iterations must be stored; the computational cost is a singular value decomposition of a matrix comprised of those stored scalar fluxes.On 1-D slab geometry problems we observe an order of magnitude reduction in the number of transport sweeps required compared to source iteration and that the number of sweeps required is independent of the scattering ratio in the problem. These observations hold for an extremely heterogeneous problem and a 2-D problem. In 2-D we do observe that the effectiveness of the approach slowly degrades as the mesh is refined, but is still about one order of magnitude faster than source iteration.

研究动机与目标

• 解决离散 ordinates 输运计算中源迭代收敛缓慢的问题，特别是在高散射或非均质问题中。
• 克服传统扩散合成加速度（DSA）在高阶、非结构化或不连续有限元网格中的局限性。
• 开发一种基于数据、无需算子的加速技术，无需显式了解输运算子的信息。
• 在具有挑战性的离散化场景中实现更快的收敛，而无需额外的扩散求解或预条件处理。

提出的方法

• 从多个源迭代sweeps中存储标量通量向量，以构建数据矩阵 $Y_-$ 和 $Y_+$。
• 对 $Y_-$ 应用 Proper Orthogonal Decomposition (POD) 方法，通过薄奇异值分解（SVD）提取解空间的低维基。
• 从SVD中构建约化算子 $\tilde{A} = U^T A U$，在约化空间中近似输运算子的作用。
• 计算 $\tilde{A}$ 的特征模态，以识别迭代过程中衰减最慢的模态。
• 利用主导DMD模态进行外推，预测收敛状态，从而有效加速收敛。
• 定期应用DMD更新，使用估计的收敛通量来重启或校正源迭代过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 DMD是否可在无需显式了解输运算子信息的前提下，用于加速S_N输运计算中的源迭代？
• RQ2 基于DMD的加速方法是否能实现与散射比无关的收敛性，特别是在高度散射介质中？
• RQ3 在标准DSA可能失效的非均质和多维问题中，该方法表现如何？
• RQ4 网格细化和问题复杂度对DMD加速效果有何影响？
• RQ5 DMD是否可应用于输运中的其他迭代组件，如能量群或温度迭代？

主要发现

• 在散射比高达 0.999999 的一维平板问题中，DMD将输运sweeps数相比标准源迭代减少了约一个数量级。
• DMD所需的sweeps数与散射比无关，在接近单位散射（c = 0.999999）时仍保持在约50–70次，而源迭代则需超过3900次。
• 在一维高度非均质问题中，平均自由程相差1000倍，DMD仍实现了约10倍的sweeps减少，尽管问题难度增加。
• 在二维问题中，使用 $200 \times 120$ 网格的弯曲管道问题，DMD仅需104次sweeps（K=10, R=3），而源迭代估计需974次，实现10倍加速。
• 该方法在网格细化时性能缓慢下降，其退化程度近似与单元数每维的平方根成正比，但仍保持有效性。
• DMD更新会引入瞬态高频误差，但这些误差在后续sweeps中迅速衰减，表明其在实际应用中具有鲁棒性。