[论文解读] Accessibility percolation with backsteps

Julien Berestycki, Éric Brunet-Gouet+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2014

Evolution and Genetic Dynamics参考文献 3被引用 8

一句话总结

本文研究了在具有随机适应度值的 L 维超立方体上允许后退步骤（将 1 位翻转为 0 位）时的可及性渗透现象。研究发现，从原点到适应度最高的位点存在严格递增适应度路径的存在性存在相变现象。当 L 较大时，若起始适应度 x < x*₁/₂ ≈ 0.278，则此类路径存在的概率收敛于约 0.278；若 x > x*₁/₂，则几乎必然不存在此类路径。临界阈值 x*₁/₂ = 1 − ½ sinh⁻¹(2) 通过生成函数和自避路径的渐近分析推导得出。

ABSTRACT

Consider a graph in which each site is endowed with a value called \emph{fitness}. A path in the graph is said to be "open" or "accessible" if the fitness values along that path is strictly increasing. We say that there is accessibility percolation between two sites when such a path between them exists. Motivated by the so called House-of-Cards model from evolutionary biology, we consider this question on the $L$-hypercube $\{0,1\}^L$ where the fitness values are independent random variables. We show that, in the large $L$ limit, the probability that an accessible path exists from an arbitrary starting point to the (random) fittest site is no more than $x^*_{1/2}= 1-\frac12\sinh^{-1}(2) =0.27818\ldots$ and we conjecture that this probability does converge to $x^*_{1/2}$. More precisely, there is a phase transition on the value of the fitness $x$ of the starting site: assuming that the fitnesses are uniform in $[0,1]$, we show that, in the large $L$ limit, there is almost surely no path to the fittest site if $x&gt;x^*_{1/2}$ and we conjecture that there are almost surely many paths if $x

研究动机与目标

• 确定在 L-超立方体上，从原点到适应度最高的位点存在选择性可及（严格递增适应度）路径的临界适应度阈值 x*。
• 研究后退步骤（从 1 到 0 的位翻转）的存在如何影响可及性渗透的概率，相较于仅考虑最短路径的情况。
• 确定当 L → ∞ 时，路径存在概率是否收敛到非平凡极限，若是，则确定该极限。
• 分析在适应度约束下，超立方体对角顶点之间自避路径数量的渐近行为。

提出的方法

• 将超立方体 {0,1}^L 的所有位点（除适应度最高的位点外）赋予独立同分布的均匀适应度值，而最高适应度位点的适应度值被确定为 1。
• 将可及路径定义为适应度值严格递增的路径，允许任意长度的行走，包括后退步骤。
• 使用生成函数 G_{L,H}(X) 和 g_{L,H}(X) 对可及路径的期望数量进行上下界估计，其中 G_{L,H}(X) = sinh(X)^H cosh(X)^{L−H}，g_{L,H}(X) = (∏_{l=1}^H sinh_l(X)) cosh_H(X)^{L−H}。
• 应用生成函数系数的渐近分析，推导出可及路径的指数增长速率，从而得出临界阈值 x*。
• 对最高适应度位点的汉明距离 H 施加条件，并利用递归组合结构分析新最大值非连续出现的字符串。
• 分析最高适应度位点为均匀随机分布的情况（等价于牌屋模型），表明 H/L 在概率上趋于 1/2，从而得出临界阈值 x*₁/₂ = 1 − ½ sinh⁻¹(2)。

实验结果

研究问题

• RQ1 当允许后退步骤时，L-超立方体中从原点到最高适应度位点存在可及路径的极限概率在 L → ∞ 时是多少？
• RQ2 可及路径的存在性是否依赖于起始位点的适应度值 x，若存在相变，其临界阈值 x* 是多少？
• RQ3 与先前研究的仅考虑最短路径的模型相比，后退步骤的存在如何影响可及性渗透？
• RQ4 在适应度约束下，L-超立方体中两个对角顶点之间自避路径数量的渐近增长速率是多少？
• RQ5 临界阈值 x* 如何依赖于最高适应度位点相对于原点的期望汉明距离 H/L？

主要发现

• 当最高适应度位点固定在 (1,1,…,1) 时，从原点到该位点存在可及路径的概率在 L 较大时收敛于 x*₁/₂ = 1 − ½ sinh⁻¹(2) ≈ 0.27818。
• 若起始位点适应度 x > x*₁/₂ ≈ 0.27818，则当 L → ∞ 时，几乎必然不存在通往最高适应度位点的可及路径。
• 若最高适应度位点为均匀随机选择（牌屋模型），临界阈值仍为 x*₁/₂ ≈ 0.27818，因为 H/L 在概率上趋于 1/2。
• 当最高适应度位点位于对角顶点（H = L）时，临界阈值为 x*₁ = 1 − sinh⁻¹(1) ≈ 0.11863。
• 若 x < 1 − ln 2 ≈ 0.30685，则可及路径的期望数量随 L 指数增长，但该期望值主要受 H 较小的稀有事件主导，因此不能反映真实的路径存在概率。
• 通过分析自避路径数量的渐近上界 sinh(1−x)^H cosh(1−x)^{L−H}，并结合指数增长率分析，得出临界阈值。