[论文解读] Accuracy Preserving ENO and WENO Schemes using Novel Smoothness Measurement

Biswarup Biswas, Ritesh Kumar Dubey|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2018

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 17被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种基于多项式曲线长度的新型平滑度度量方法，用于改进ENO和WENO格式，在关键点处保持精度并减少激波附近的振荡。新提出的WENO5-L和WENO5-ZL格式在1D和2D基准问题中实现了比WENO5-JS和WENO5-Z更高的分辨率和更低的振荡，且在L¹和L∞范数下获得了理论和计算上的验证。

ABSTRACT

A novel procedure is given for choosing smoothest stencil to construct less oscillatory ENO schemes. The procedure is further used to define smoothness parameter in the non-linear weights of new WENO schemes. The main significant features of these new ENO and WENO schemes is that they are less oscillatory and achieve their relevant order of accuracy in the presence of critical points in the exact solution. It is shown theoretically as well as computationally in $L^1$ and $L^\infty$ norm. Moreover, computational results are given to show less oscillatory behavior of the new WENO scheme compared to WENO5-JS and WENO5-Z schemes.

研究动机与目标

• 解决ENO和WENO格式在间断和关键点附近出现的虚假振荡问题。
• 克服经典ENO模板选择方法的局限性，该方法在差分商相等时可能因舍入误差而失效。
• 为WENO格式开发一种更鲁棒、更精确的平滑度指标，以更好地捕捉解的特征。
• 确保即使在传统格式精度下降的关键点处，也能保持形式上的精度。
• 设计一种基于长度的非线性权重的新型WENO重构方法，以提升激波捕捉能力，同时避免引入振荡。

提出的方法

• 提出一种基于ENO重构多项式弧长的新型平滑度度量方法，替代传统的差分商。
• 在ENO模板选择过程中使用多项式曲线长度作为平滑度指标，以明确识别最平滑的模板。
• 基于ENO多项式的长度定义新的非线性权重，取代传统的平滑度指标。
• 利用这些基于长度的权重构建新型WENO格式——WENO5-L和WENO5-ZL，以提升精度并减少振荡。
• 在有限体积框架中应用这些格式求解双曲守恒律问题，并在标准的1D和2D测试用例上进行验证。
• 通过L¹和L∞范数下的理论分析与数值实验，验证精度和非振荡行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于曲线长度的平滑度指标能否提升ENO和WENO格式的精度与非振荡特性？
• RQ2 新的平滑度度量是否能消除因差分商相等而导致的模板选择模糊性？
• RQ3 新型WENO格式在传统格式精度下降的关键点处，能否保持其形式精度阶？
• RQ4 在捕捉激波和间断方面，新格式WENO5-L和WENO5-ZL相较于WENO5-JS和WENO5-Z的表现如何？
• RQ5 在2D问题中，基于长度的平滑度指标在强激波附近多大程度上提升了分辨率？

主要发现

• 与WENO5-JS和WENO5-Z相比，所提出的WENO5-L和WENO5-ZL格式在1D和2D基准问题中实现了更高的精度和更低的振荡。
• 基于多项式曲线长度的新型平滑度度量消除了模板选择中的模糊性，防止了因差分商相等导致的错误。
• 理论与计算结果均表明，新格式即使在关键点处也能保持其形式精度阶。
• L¹和L∞范数下的数值结果表明，新格式具有更优的收敛性和稳定性。
• 在2D坍缩与爆炸问题中，新格式展现出比WENO5-JS和WENO5-Z更清晰的激波分辨率和更优的流动特征捕捉能力。
• 基于长度的平滑度指标能捕捉更多流动特征，表面图显示振荡减少且激波分辨率得到改善。