[论文解读] Accurate calculation of oblate spheroidal wave functions

Van Buren, L Arnie|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2017

Geophysics and Gravity Measurements参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文提出了一种鲁棒的数值方法，利用64位浮点数算术在广阔的参数范围内精确计算扁球坐标径向函数 R1ml 和 R2ml，克服了传统方法的失效问题。该方法采用涉及球函数的级数展开、积分表示、大 c 值时特征值近似相等的性质，以及针对大 c 值时系数计算的改进算法，最终实现一个 Fortran 程序（Oblfcn），该程序在 m ≤ 1000 且 c ≤ 2000 的条件下可保证至少 8 位有效数字的精度；使用 128 位算术可实现 15 位以上有效数字，并覆盖完整的 xi 参数范围。

ABSTRACT

Alternative expressions for calculating the oblate spheroidal radial functions of both kinds R1ml and R2ml are shown to provide accurate values over very large parameter ranges using 64 bit arithmetic, even where the traditional expressions fail. First is the expansion of the product of a radial function and the angular function of the first kind in a series of products of the corresponding spherical functions, with the angular coordinate being a free parameter. Setting the angular coordinate equal to zero leads to accurate values for R2ml when the radial coordinate xi is larger than 0.01 and l is somewhat larger than m. Allowing it to vary with increasing l leads to highly accurate values for R1ml over all parameter ranges. Next is the calculation of R2ml as an integral of the product of S1ml and a spherical Neumann function kernel. This is useful for smaller values of xi. Also used is the near equality of pairs of low order eigenvalues when the size parameter c is large that leads to accurate values for R2ml using neighboring accurate values for R1ml. A modified method is described that provides accurate values for the necessary expansion coefficients when c is large and l is near m and traditional methods fail. A resulting Fortran computer program Oblfcn almost always provides radial function values with at least 8 accurate decimal digits using 64 bit arithmetic for m up to at least 1000 with c up to at least 2000 when xi is greater than 0.000001 and c up to at least 5000 when xi is greater than 0.01. Use of 128 bit arithmetic extends the accuracy to 15 or more digits and extends xi to all values other than zero. Oblfcn is freely available.

研究动机与目标

• 解决传统方法在大参数范围内计算扁球坐标径向函数 R1ml 和 R2ml 时出现的数值不稳定与失效问题。
• 开发一种方法，即使在 m、c 和 xi 取极端值时，也能使用标准 64 位浮点数算术保持高精度。
• 将径向函数的可计算范围扩展至小 xi 值（低至 1e-6）以及高 m 和 c 值（最高达 5000），这些区域是以往方法失效的区域。
• 为需要在波传播与散射问题中获得高精度结果的研究人员提供一个可靠且免费的计算工具（Oblfcn）。

提出的方法

• 将第一类径向函数与角函数的乘积展开为球函数乘积的级数，将角坐标作为自由参数，从而实现对 R2ml 在零角坐标处的精确计算。
• 采用随 l 增大而自适应调整的角坐标，以在所有参数范围内精确获得 R1ml 的值。
• 将 R2ml 表示为包含扁球函数 S1ml 和球诺伊曼函数核的积分形式，该方法在 xi 值较小时尤为有效。
• 利用大尺寸参数 c 时低阶特征值近似相等的特性，通过相邻的 R1ml 值高精度计算 R2ml。
• 提出一种改进的系数计算算法，用于处理 c 值较大且 l 接近 m 的情况，此时标准方法会失效。
• 在 Fortran 程序（Oblfcn）中实现该方法，该程序默认使用 64 位算术，同时支持 128 位算术以实现更高精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以使用标准 64 位浮点数算术在极广阔的参数范围内准确计算扁球坐标径向函数？
• RQ2 如何克服传统计算方法在 R1ml 和 R2ml 计算中出现的数值不稳定性，特别是在 xi 较小以及 m 或 c 较大时？
• RQ3 在 c 值较大时，如何充分利用特征值近似相等的特性，通过 R1ml 值来提升 R2ml 的计算精度？
• RQ4 当 c 值较大且 l 接近 m 时，标准方法失效，此时对系数计算方法需要做出哪些修改？
• RQ5 是否可以开发一种通用的、免费的计算工具，实现在 m、c 和 xi 全范围内的稳定高精度（例如 8 位以上有效数字）计算？

主要发现

• 所提出的方法可使用 64 位算术在 m 至少达 1000、c 至少达 2000 且 xi > 0.000001 的范围内，实现 R1ml 和 R2ml 的高精度计算。
• 当 xi > 0.01 时，该方法可将 c 的适用范围扩展至至少 5000，且精度保持不变，表明其具有更广的适用性。
• Oblfcn 中使用 128 位算术可将精度扩展至 15 位或更多有效数字，并可计算除 xi = 0 外的所有 xi 值。
• Oblfcn 程序在指定参数范围内，对径向函数始终能提供至少 8 位有效数字的精度。
• 级数展开与基于积分的方法在传统表达式失效的区域（特别是极端参数区域）提供了稳定且精确的结果。
• 改进的系数计算方法成功解决了在 c 值较大且 l 接近 m 时的数值失效问题，该区域曾是传统方法的难点。