[论文解读] Accurate determination of time delay and embedding dimension for state space reconstruction from a scalar time series

Aniruddha Tamma, Bhaskar Khubchandani|arXiv (Cornell University)|May 5, 2016

Fault Detection and Control Systems参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文提出了一种新颖的方法，用于从标量时间序列中准确确定状态空间重构的时间延迟和嵌入维数，利用维度偏差函数定位最优时间延迟，并采用基于饱和度的虚假最近邻方法确定嵌入维数。该方法在重构Lorenz和Mackey-Glass吸引子方面表现出高保真度，优于传统的自相关和互信息方法。

ABSTRACT

A new and accurate method to determine the time delay and embedding dimension for state space reconstruction of a high dimensional system from a scalar time series using time delay embedding is presented. The time delay is obtained to unprecedented accuracy by evaluating the minima of a newly defined dimension deviation function. The efficacy of our method is tested by applying it to the Lorenz system and the Mackey-Glass system. A good agreement is obtained between the shape and embedding dimension of the physical system attractor(s) and the corresponding reconstruction(s) for both the systems studied. This, along with a heuristic argument provide a validation of the proposed method.

研究动机与目标

• 解决从混沌系统的标量时间序列进行状态空间重构时，选择最优时间延迟和嵌入维数的挑战。
• 克服传统方法（如线性自相关和平均互信息）的局限性，这些方法在非线性系统中常无法实现准确重构。
• 开发一种稳健的、数据驱动的方法，确保高维混沌系统中奇异吸引子的保真度重构。
• 使用已知真实吸引子几何结构和维数的典型系统——Lorenz和Mackey-Glass——对方法进行验证。

提出的方法

• 引入一种新的维度偏差函数，通过识别对应于点态分形维数最小偏差的极小值来确定最优时间延迟τ。
• 采用点态分形维数定义 D_p = lim_{ε→0} log(μ(B_ε(x))) / log(ε)，以量化重构流形中的局部几何结构。
• 应用饱和度准则确定嵌入维数：嵌入维数选择为最近邻数量在增加维数时趋于稳定的位置。
• 采用改进的虚假最近邻算法，其中 ν(i,m,ε) = Σ_j θ(ε - r_ij) 随维数m增加跟踪邻居数量的饱和状态。
• 以Lorenz和Mackey-Glass系统为测试案例，通过已知参数和初始条件的欧拉积分生成时间序列。
• 提出一种迭代优化：首先在高嵌入维数下估计τ，然后在确定最优嵌入维数后重新估计τ。

实验结果

研究问题

• RQ1 新的维度偏差函数是否能在状态空间重构中优于线性自相关和互信息，以选择最优时间延迟？
• RQ2 所提出的方法是否能生成与已知混沌系统的实际几何结构和维数高度一致的吸引子重构？
• RQ3 初始嵌入维数的选择如何影响时间延迟估计的准确性？该影响能否被缓解？
• RQ4 最近邻数量的饱和度在多大程度上能可靠地指示真实的嵌入维数？

主要发现

• 所提出的维度偏差函数成功识别出Lorenz系统的最优时间延迟，其重构结果在视觉上与真实吸引子无法区分。
• 对于Lorenz系统，该方法确定的嵌入维数为5，与已知吸引子维数一致，并且对应于最近邻数量的饱和点。
• 该方法优于线性自相关和平均互信息方法，后者所确定的极小值远偏离视觉上最优的时间延迟。
• Mackey-Glass系统具有明确的时间延迟1500，该方法成功实现了其准确重构，证实了其在具有已知延迟参数系统中的有效性。
• 该方法的时间复杂度为O(n²)，但可通过在数据点子集上采样和平均来降低。