[论文解读] Accurate Frequency Domain Identification of ODEs with Arbitrary Signals

Eduardo Martini, André V. G. Cavalieri+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2019

Control Systems and Identification参考文献 17被引用 7

一句话总结

该论文提出了一种针对由任意信号驱动的线性常微分方程的广义频域系统辨识方法，通过解析校正项考虑任意窗函数效应。通过推导由窗函数引起的虚假输入分量，该方法消除了瞬态误差并减少了混叠，实现了无需人工校正项的精确参数估计，且在使用平滑、紧suppored窗函数（如 $w_{\text{C}^∞_{1}}$）时表现出显著改进。

ABSTRACT

The difficulty in frequency domain identification is that frequency components of arbitrary inputs and outputs are not related by the system's transfer function if signals are windowed. When rectangular windows are used, it is well known that this difference is related to transient effects that can be estimated alongside the systems' parameters windows. In this work, we generalize the approach for arbitrary windows, showing that signal windowing introduces additional terms in the system's equations. The formalism is useful for frequency-domain input-output analysis of a system, and also for system identification. For the latter application, the approach considerably reduces aliasing effects and allows the computation of the associated correction terms, reducing the number of parameters that need to be estimated. The system identification approach has features of the modulating-function technique, filtering out the effects of initial conditions while retaining the spectral interpretation of frequency-domain methods.

研究动机与目标

• 解决在使用非周期性、有限长度信号并施加任意窗函数时，频域系统辨识不准确的问题。
• 消除在频域分析线性ODE时由信号窗函数引起的虚假瞬态效应。
• 在不依赖人工多项式校正的前提下，减少频谱估计中的混叠效应。
• 通过解析计算窗函数引起的误差项，将调制函数技术与频域方法统一起来。
• 通过将窗函数效应直接整合到模型中，实现最小化参数估计的精确系统辨识。

提出的方法

• 推导出一种形式化方法，将信号窗函数建模为ODE系统中的附加虚假输入项，从而将问题转化为校正后的频域方程。
• 利用窗函数信号的傅里叶变换，将误差表示为与窗函数谱的卷积，从而实现对窗函数引起的失真进行解析处理。
• 提出一种适用于任意窗函数的广义校正框架，扩展了以往仅限于矩形窗的工作。
• 将该方法应用于推导离散傅里叶变换中混叠效应的解析表达式，表明收敛速率取决于窗函数的光滑性。
• 使用平滑且紧支撑的窗函数（如 $w_{\text{C}^∞_{1}}$）以最小化谱泄漏，并改善 $f_{\text{err}}^p$ 的误差界。
• 计算误差包络 $f_{\text{err}}^p$，以量化窗函数效应低于给定阈值 $p$ 的频率范围，从而实现最优窗函数选择。

实验结果

研究问题

• RQ1 当窗函数引起虚假瞬态效应时，如何使频域系统辨识对任意非周期性信号保持准确？
• RQ2 对于任意窗函数，校正项的解析形式是什么？它们与系统传递函数有何关系？
• RQ3 通过选择平滑且紧支撑的窗函数，能在多大程度上减少频域辨识中的混叠效应？
• RQ4 能否通过解析计算窗函数引起的误差项，而非估计它们，将调制函数技术推广到频域？
• RQ5 误差估计的收敛速率如何依赖于窗函数及其导数的光滑性？

主要发现

• 该方法通过解析计算虚假输入项，减少了由窗函数引起的频域辨识误差，消除了对经验多项式校正的依赖。
• 对于平滑窗函数如 $w_{\text{C}^∞_{1}}$，误差阈值 $f_{\text{err}}^{10^{-6}}$ 为 99 Hz，表明 99% 的信号能量在此频率以下被解析。
• 当信号平滑时，该方法实现了 $O(1/k^{n+1})$ 的DFT误差收敛率，优于不那么平滑信号的 $O(1/k^n)$ 收敛率。
• 使用 $w_{\text{C}^∞_{4}}$ 时，误差阈值 $f_{\text{err}}^{10^{-12}}$ 达到 63 Hz，展示了对极小误差水平的高精度分辨率。
• 所提出的窗函数族 $w_{\text{C}^∞_{\rho}}$ 可通过光滑性参数系统控制混叠与瞬态误差，其中 $f_{\text{err}}^{10^{-12}}$ 从 $\rho=1$ 时的 760 Hz 降低至 $\rho=4$ 时的 63 Hz。
• 该形式化方法通过滤除初始条件影响，同时保持频谱解释能力并减少参数估计负担，统一了频域分析与调制函数技术。