[论文解读] Action and Energy of the Gravitational Field

J. Brown, Stephen R. Lau+1 more|ArXiv.org|Oct 6, 2000

Advanced Differential Geometry Research参考文献 3被引用 28

一句话总结

本文通过哈密顿形式化和哈密顿-雅可比理论的场论推广，为引力场构建了一个拟局部应力-能量-动量张量。通过变分引力作用量关于边界度规，推导出一种坐标无关的拟局部能量-动量定义，该定义在大球面极限下退化为已知结果，并适用于有限时空区域，为广义相对论中诸如ADM能量等渐近定义提供了一种物理上有意义的替代方案。

ABSTRACT

We present a detailed examination of the variational principle for metric general relativity as applied to a ``quasilocal'' spacetime region $\M$ (that is, a region that is both spatially and temporally bounded). Our analysis relies on the Hamiltonian formulation of general relativity, and thereby assumes a foliation of $\M$ into spacelike hypersurfaces $Σ$. We allow for near complete generality in the choice of foliation. Using a field--theoretic generalization of Hamilton--Jacobi theory, we define the quasilocal stress-energy-momentum of the gravitational field by varying the action with respect to the metric on the boundary $\partial\M$. The gravitational stress-energy-momentum is defined for a two--surface $B$ spanned by a spacelike hypersurface in spacetime. We examine the behavior of the gravitational stress-energy-momentum under boosts of the spanning hypersurface. The boost relations are derived from the geometrical and invariance properties of the gravitational action and Hamiltonian. Finally, we present several new examples of quasilocal energy--momentum, including a novel discussion of quasilocal energy--momentum in the large-sphere limit towards spatial infinity.

研究动机与目标

• 为有限时空区域中的引力场定义一种物理上有意义的拟局部应力-能量-动量张量。
• 克服如ADM能量等渐近定义的局限性，这些定义对有限系统而言是不物理的。
• 发展一种微分同胚不变且坐标无关的形式体系，避免早期方法中伪张量的问题。
• 建立一种适用于数值相对论的形式体系，特别是模拟中外部边界条件的应用。
• 在趋于空间无穷远的大球面极限下，恢复已知结果（如ADM能量），并将其推广至拟局部情形。

提出的方法

• 采用广义相对论的哈密顿形式化，对一个拟局部时空区域M进行类空叶状分解。
• 应用哈密顿-雅可比理论的场论推广，通过变分作用量关于边界度规来定义拟局部应力-能量-动量。
• 从作用量和哈密顿量的不变性性质推导引力应力-能量-动量的提升关系。
• 引入一个边界作用量，使得可对类空二维曲面B上的诱导度规进行变分，从而得到拟局部能量-动量。
• 使用部分叶状分解来定义边界上的法向和切向矢量场，确保与拟局部形式体系的一致性。
• 在不依赖背景时空的前提下构建形式体系，保持完全的微分同胚不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从变分原理出发，推导出一种坐标无关的拟局部引力能量-动量张量？
• RQ2 引力应力-能量-动量在跨越超曲面的提升变换下表现出何种行为？
• RQ3 在趋于空间无穷远的大球面极限下，拟局部能量-动量如何退化为ADM能量？
• RQ4 该形式体系能否应用于数值相对论，以处理外部边界条件？
• RQ5 该拟局部形式体系与早期方法（如爱因斯坦的伪张量或Møller的四维标架作用量）相比有何异同？

主要发现

• 通过变分引力作用量关于边界度规，推导出拟局部应力-能量-动量，结果为微分同胚不变且坐标无关。
• 该形式体系在趋于空间无穷远的大球面极限下自然重现ADM能量，验证了其与已知渐近结果的一致性。
• 从作用量和哈密顿量的不变性结构中推导出引力能量-动量的提升关系，结果与相对论性变换定律一致。
• 该方法不依赖背景时空或固定坐标系，保持了完整的广义协变性，避免了早期方法中伪张量的问题。
• 该形式体系为有限区域内定义拟局部能量提供了可行框架，可直接应用于数值相对论和半经典引力。
• 通过在边界元上进行加权积分来处理边界项的减除，实现了规范变换的一致性，并在形式体系中保持了零点自由度。