[论文解读] Action-angle coordinates and KAM theory for singular symplectic manifolds

Eva Miranda, Arnau Planas|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2022

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems被引用 4

一句话总结

本文通过发展作用-角度坐标并证明一个KAM定理，建立了$b^m$-辛流形的KAM理论——这类流形具有横截超曲面的奇异辛结构。关键贡献在于首次为泊松流形中超越辛范畴的可积系统建立了摄动理论，其应用涵盖通过去奇异化和$b$-接触结构实现的天体力学与流体动力学。

ABSTRACT

This monograph explores classification and perturbation problems for integrable systems on a class of Poisson manifolds called $b^m$-Poisson manifolds. Even if the class of $b^m$-Poisson manifolds is not ample enough to represent general Poisson manifolds, this investigation can be seen as a first step for the study of perturbation theory for general Poisson manifolds. We prove an action-angle coordinate and a KAM theorem for $b^m$-Poisson manifolds which improves the one obtained for $b$-Poisson manifolds for $m=1$ in [KMS16]. As an outcome of this result together with the extension of the desingularization techniques of Guillemin-Miranda-Weitsman to the realm of integrable systems, we obtain a KAM theorem for folded symplectic manifolds. We also obtain a new KAM theorem for symplectic manifolds where the perturbation keeps track of a distinguished hypersurface. In several problems in celestial mechanics, this distinguished hypersurface can be the line at infinity or can represent the collision set.

研究动机与目标

• 将KAM理论扩展至$b^m$-辛流形，即一类在横截临界超曲面上退化的奇异辛流形，超越经典辛设定。
• 为$b^m$-可积系统发展作用-角度坐标形式化，将经典Arnold-Liouville-Mineur定理推广至奇异泊松结构。
• 为$b^m$-辛流形建立一个KAM定理，确保在小扰动下不变环面的持久性，从而支持拟周期动力学的研究。
• 通过去奇异化技术（如McGehee坐标）将该理论应用于天体力学，特别是限制性三体问题和逃逸轨道。
• 通过$b$-Reeb-Beltrami对应关系将$b^m$-动力学与流体动力学联系起来，识别静止流体流中奇异的周期轨道与逃逸轨道。

提出的方法

• 将$b^m$-辛结构引入为辛形式的推广，其在光滑超曲面$Z$外非退化，并可通过$b^m$-形式实现光滑延拓。
• 通过在正则区域中的闭合曲线积分定义作用变量，为$b^m$-可积系统构造作用-角度坐标。
• 证明一个$b^m$-辛版本的Arnold-Liouville定理，表明局部上$b^m$-可积系统在正则水平集上具有环面作用与角度坐标。
• 通过在$b^m$-框架下使用Nash-Moser迭代方法将摄动问题约化为求解$b^m$-辛同胚方程，从而发展新的$b^m$-辛流形KAM定理。
• 利用去奇异化技术（如McGehee变换）将$b^m$-结构与经典天体力学问题（如开普勒问题和两固定中心问题）联系起来。
• 借助$b$-Reeb-Beltrami对应关系，将接触几何中关于周期轨道与逃逸轨道的结果转移至流体动力学与天体力学。

实验结果

研究问题

• RQ1 KAM理论能否被扩展至$b^m$-辛流形，即辛形式在超曲面上退化的奇异泊松流形？
• RQ2 $b^m$-可积系统是否具有类似于经典辛情形的明确定义的作用-角度坐标系？
• RQ3 在何种条件下，$b^m$-辛系统中的拟周期环面在小扰动下保持持久？
• RQ4 如何将$b^m$-辛流形的KAM定理应用于天体力学，以在无穷远或碰撞奇点附近定位新的周期轨道？
• RQ5 $b^m$-接触结构与$b$-Reeb-Beltrami对应关系在识别流体动力学与天体系统中逃逸轨道与奇异周期轨道方面起什么作用？

主要发现

• 为$b^m$-辛流形建立了一个新的KAM定理，证明在$b^m$-范畴中，小$C^\nu$-光滑扰动下拟周期环面保持持久。
• 通过$b^m$-形式与正则区域中的闭合曲线，为$b^m$-可积系统构造了作用-角度坐标，推广了经典Arnold-Liouville定理。
• 证明McGehee变换可将开普勒问题转化为$b^3$-接触结构，其中Liouville向量场成为横截于能量水平集的$b^3$-向量场。
• 去奇异化后，限制性三体问题在无穷远处表现出$b^3$-接触结构，其临界集上存在无穷多个非平凡周期轨道。
• $b$-Reeb-Beltrami对应关系表明，三维流形上具有$N$个临界集连通分支的通用$b$-Beltrami向量场至少具有$2N$个或无穷多个逃逸轨道。
• KAM方法可用于将这些奇异周期轨道扰动为扰动系统中的真实周期轨道，将庞加莱的连续方法推广至$b^m$-设定。