[论文解读] Action differences between fixed points and accurate heteroclinic orbits

Jizhou Li, Steven Tomsovic|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2015

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 1被引用 5

一句话总结

本文提出了一种稳定且高精度的方法，通过利用不变的稳定与不稳定流形，计算强混沌哈密顿系统中的异宿轨，避免了直接积分轨迹。该方法推导出一个通用关系：两个定点之间的作用量差等于异宿纠缠基本环路所围成的代数面积，并在踢转子模型中通过精确的流形交点验证了该关系。

ABSTRACT

A general relation is derived for the action difference between two fixed points and a phase space area bounded by the irreducible component of a heteroclinic tangle. The determination of this area can require accurate calculation of heteroclinic orbits, which are important in a wide range of dynamical system problems. For very strongly chaotic systems initial deviations from a true orbit are magnified by a large exponential rate making direct computational methods fail quickly. Here, a method is developed that avoids direct calculation of the orbit by making use of the well-known stability property of the invariant unstable and stable manifolds. Under an area-preserving map, this property assures that any initial deviation from the stable (unstable) manifold collapses onto themselves under inverse (forward) iterations of the map. Using a set of judiciously chosen auxiliary points on the manifolds, long orbit segments can be calculated using the stable and unstable manifold intersections of the heteroclinic (homoclinic) tangle. Detailed calculations using the example of the kicked rotor are provided along with verification of the relation between action differences. The loop structure of the heteroclinic tangle is necessarily quite different from that of the turnstile for a homoclinic tangle, its analogous partner.

研究动机与目标

• 在直接积分因指数发散而失效的强混沌系统中，准确计算长段异宿轨。
• 建立两个定点之间经典作用量差与异宿纠缠环路所围相空间面积之间的精确关系。
• 为哈密顿系统中的异宿轨开发一种计算高效且稳定的边界值问题求解器替代方法。
• 证明异宿纠缠基本环路结构的代数面积编码了不同定点之间的作用量差。
• 通过多点流形插值将该方法推广至高维系统，并通过密集采样与插值提高精度。

提出的方法

• 该方法利用不变稳定与不稳定流形的结构稳定性，分别在正向与反向迭代中吸引邻近点。
• 通过在每条流形上使用一组辅助点插值稳定与不稳定流形，并寻找其交点，重构异宿轨。
• 两个定点之间的作用量差作为异宿纠缠形成的基底环路所围代数面积计算，由公式 (20) 推导并经数值验证。
• 该方法避免求解边界值问题或使用配点技术，转而依赖于向流形迭代收敛及流形段的插值。
• 对于高维系统，通过使用多个点定义稳定与不稳定流形的切平面，将方法推广至高维相空间中的交点计算。
• 该方法的精度仅受限于插值精度与机器精度，通过在流形上更密集地采样可进一步提升结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 当直接积分因指数发散而失效时，如何在长时间区间内准确计算强混沌系统中的异宿轨？
• RQ2 两个定点之间经典作用量差与它们异宿纠缠所围相空间面积之间的确切关系是什么？
• RQ3 为何异宿纠缠基本环路的代数面积不为零，而不同于同宿闸门的结构？
• RQ4 稳定与不稳定流形的交点能否提供一种鲁棒且高精度的传统数值轨迹积分替代方法？
• RQ5 该方法如何推广至具有多维流形的高维哈密顿系统？

主要发现

• 在异宿纠缠中，两个不同定点之间的作用量差恰好等于纠缠基本环路所围代数面积，如公式 (20) 所形式化。
• 对于同宿纠缠，作用量差为零，这使得闸门环路的代数面积必须为零，与‘8’字结构一致。
• 在踢转子模型中，该方法成功计算了长段异宿轨，并以高精度验证了作用量-面积关系，证实了理论预测。
• 该方法的精度仅受限于插值质量与机器精度，且由于向不变流形的指数收敛，其性能优于直接积分。
• 异宿纠缠的环路结构与同宿闸门的根本不同在于：它不能是零面积的‘8’字形，因为作用量差非零。
• 该方法可通过庞加莱映射推广至连续时间系统，并通过多点流形插值与切平面交点计算推广至高维。