[论文解读] Action Integrals and discrete series

Andrés Viña|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2011

Advanced Algebra and Geometry被引用 2

一句话总结

该论文通过实半单李群的齐性空间 M = G_R/T_R 上的哈密顿动力学，建立了离散系列表示不变量的几何解释。利用几何量子化和相关丛上的联络，表明 Z(G_R) 中元素 g 的中心特征 π(g) 对应于哈密顿微分同胚环路上的全纯性作用，该作用与作用积分相关。关键结果是从中心元素 g 的 Ψ(g) 的取值数量推导出 Diff(M) 的某些子群的基本群的下界。

ABSTRACT

Let $G$ be a complex semisimple Lie group and ${G}_{\mathbb R}$ a real form that contains a compact Cartan subgroup $T_{\mathbb R}$. Let $\pi$ be a discrete series representation of $G_{\mathbb R}$. We present geometric interpretations in terms of concepts associated with the manifold $M:=G_{\mathbb R}/T_{\mathbb R}$ of the constant $\pi(g)$, for $g\in Z(G_{\mathbb R})$. For some relevant particular cases, we prove that this constant is the action integral around a loop of Hamiltonian diffeomorphims of $M$. As a consequence of these interpretations, we deduce lower bounds for the cardinal of the fundamental group of some subgroups of ${ m Diff}(M)$. We also geometrically interpret the values of the infinitesimal character of the differential representation of $\pi$.

研究动机与目标

• 将 g ∈ Z(G_R) 的中心特征 π(g) 几何化地解释为 M = G_R/T_R 上哈密顿微分同胚环路的性质。
• 将微分表示 π′ 的无穷小特征与相关向量丛上的曲率和联络不变量联系起来。
• 通过分析几何量子化算子生成的流的同伦型，推导出子群 G ⊂ Diff(M) 的拓扑约束。
• 通过轨道方法和 L²-上同调构造，建立表示论不变量与辛几何之间的联系。
• 证明在适当的几何条件下，π₁(G) 的基数被 Z(G_R) 上表示 Ψ 的 Ψ(g) 取值数下界控制。

提出的方法

• 利用 Schmid 的 L²-上同调构造，通过 G/B 上的全纯线丛及其在 M = G_R/T_R 上的限制，实现离散系列表示。
• 在 M 上的 GL(W)-主丛 P 上引入一个 G_R-不变联络 Ω，该联络由 TR 在 W = C ⊗ ⋀^q u* 上的表示 Ψ 构造而成。
• 通过协变导数 ∇ 和表示 Ψ′ 定义‘量子化算子’QA，作为 W-丛截面上的的一阶微分算子。
• 将中心元素 g ∈ Z(G_R) 的作用与 P 上的规范变换 H₁ 联系起来，表明 H₁(p) = pκ 且 |κ| = 1。
• 应用水平提升与全纯性的理论，利用 G_R → M 上的不变联络，将中心特征 κ 与 M 中环路的单值性联系起来。
• 通过 G 中环路的形变理论，证明非同伦环路源于不同的 Ψ(g) 取值，从而导出 π₁(G) 的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 g ∈ Z(G_R) 的中心特征 π(g) 如何在 M = G_R/T_R 上的哈密顿动力学中实现几何解释？
• RQ2 微分表示 π′ 的无穷小特征 χ(J) 在丛 P 上的曲率与联络中具有何种几何意义？
• RQ3 ‘量子化算子’QA 如何与 g_R 的表示理论及 M 的几何结构相关联？
• RQ4 表示理论对包含 G_R 作用的子群 G ⊂ Diff(M) 施加了何种拓扑约束？
• RQ5 能否利用表示 Ψ 在 Z(G_R) 上的取值，对 π₁(G) 施加下界？

主要发现

• 对于 g ∈ Z(G_R)，中心特征 π(g) 几何地实现为哈密顿微分同胚环路在丛 P 上的全纯性作用，满足 H₁(p) = pκ。
• 对于 J ∈ Z(g)，无穷小特征 χ(J) 实现为微分算子 p(Q_E^{-ν}, Q_{C_i}, Q_{E_ν}) 在 H 上的标量作用，其值为 χ(J) ∈ ℂ。
• 对于任意满足 (3.9) 的连通李子群 G ⊂ Diff(M)，π₁(G) 的基数被 Z(G_R) 上 Ψ(g) 的不同取值数下界控制。
• 当 G_R 为紧致且 φ 为正则极大权时，定理 24 给出 ♯π₁(G) ≥ ♯{Φ(g) | g ∈ Z(G_R)}，对任意连通李子群 G ⊂ Symp(M, ̟) 成立。
• 在 SU(2) 情形下，结果表明 ♯π₁(Ham(CP¹, ̟)) ≥ 2，与 π₁(Ham(CP¹, ω)) ≅ ℤ/2ℤ 一致。
• 根据推论 22，非同伦环路源于 Ψ(g₁) 与 Ψ(g′₁) 的不同取值，确保不同中心元素产生非同伦流。