[论文解读] Action of the Mapping Class Group on Character Varieties and Higgs Bundles

Oscar Garcı́a-Prada, Graeme Wilkin|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 34被引用 9

一句话总结

本文研究了映射类群的有限子群在曲面群到半单实李群的特征簇上的作用。通过在黎曼曲面上使用扭曲的 $γ$-交错 $G$-希格斯丛，识别了不动点，推广了轨道上抛物希格斯丛的理论，并将伪实希格斯丛理论扩展至抛物情形。

ABSTRACT

We consider the action of a finite subgroup of the mapping class group Mod$(S)$ of an oriented compact surface $S$ of genus $g \geq 2$ on the moduli space $\calR(S,G)$ of representations of $\pi_1(S)$ in a connected semisimple real Lie group $G$. Kerckhoff's solution of the Nielsen realization problem ensures the existence of an element $J$ in the Teichm\"uller space of $S$ for which $\Gamma$ can be realised as a subgroup of the group of automorphisms of $X=(S,J)$ which are holomorphic or antiholomorphic. We identify the fixed points of the action of $\Gamma$ on $\calR(S,G)$ in terms of $G$-Higgs bundles on $X$ equipped with a certain twisted $\Gamma$-equivariant structure, where the twisting involves abelian and non-abelian group cohomology simultaneously. These, in turn, correspond to certain representations of the orbifold fundamental group. When the kernel of the isotropy representation of the maximal compact subgroup of $G$ is trivial, the fixed points can be described in terms of familiar objects on $Y=X/\Gamma^+$, where $\Gamma^+ \subset \Gamma$ is the maximal subgroup of $\Gamma$ consisting of holomorphic automorphisms of $X$. If $\Gamma=\Gamma^+$ one obtains actual $\Gamma$-equivariant $G$-Higgs bundles on $X$, which in turn correspond with parabolic Higgs bundles on $Y=X/\Gamma$ (this generalizes work of Nasatyr \& Steer for $G=\SL(2,\R)$ and Boden, Andersen \& Grove and Furuta \& Steer for $G=\SU(n)$). If on the other hand $\Gamma$ has antiholomorphic automorphisms, the objects on $Y=X/\Gamma^+$ correspond with pseudoreal parabolic Higgs bundles. This is a generalization in the parabolic setup of the pseudoreal Higgs bundles studied by the first author in collaboration with Biswas \& Hurtubise.

研究动机与目标

• 理解映射类群的有限子群在曲面群到半单实李群的特征簇上的作用的不动点。
• 建立这些不动点与同时涉及阿贝尔与非阿贝尔上同调的扭曲 $γ$-交错 $G$-希格斯丛之间的对应关系。
• 通过轨道商空间，将现有的等变与伪实希格斯丛结果推广至抛物情形。
• 当同伦表示的核平凡时，以轨道基本群的表示来刻画不动点。

提出的方法

• 利用 Kerckhoff 解决 Nielsen 实现问题的方法，将映射类群的有限子群实现为黎曼曲面 $X=(S,J)$ 的自同构群。
• 在 $G$-希格斯丛上引入扭曲的 $γ$-交错结构，结合阿贝尔与非阿贝尔群上同调以编码群作用。
• 通过 $X$ 上具有指定交错结构的 $G$-希格斯丛的几何性质，分析群作用在特征簇 $Χ(S,G)$ 上的不动点。
• 将不动点的描述约化为 $Y = X / \Gamma^+$ 上的对象，其中 $\Gamma^+$ 是全纯自同构子群。
• 建立 $X$ 上扭曲等变希格斯丛与 $Y$ 上抛物希格斯丛之间的对应关系，推广了 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ 与 $\mathrm{SU}(n)$ 的已知结果。
• 区分存在与不存在反全纯自同构的情形，分别得到 $Y$ 上的抛物希格斯丛或伪实抛物希格斯丛。

实验结果

研究问题

• RQ1 映射类群的有限子群如何作用于曲面群到半单实李群的特征簇上？
• RQ2 此类群作用的不动点具有怎样的几何与上同调结构？
• RQ3 如何利用扭曲的 $γ$-交错 $G$-希格斯丛来描述这些不动点？
• RQ4 这些不动点与轨道基本群表示之间存在何种关系？
• RQ5 反全纯自同构的存在如何影响不动点在抛物希格斯丛分类中的作用？

主要发现

• 映射类群的有限子群 $\Gamma$ 在 $\calR(S,G)$ 上作用的不动点，由涉及阿贝尔与非阿贝尔上同调的、具有扭曲 $\Gamma$-交错结构的 $X$ 上的 $G$-希格斯丛参数化。
• 当同伦表示的核平凡时，不动点对应于 $Y = X / \Gamma^+$ 上的抛物希格斯丛，其中 $\Gamma^+$ 是全纯自同构子群。
• 若 $\Gamma = \Gamma^+$，则不动点由 $X$ 上真正的 $\Gamma$-交错 $G$-希格斯丛描述，这些丛对应于 $Y = X / \Gamma$ 上的抛物希格斯丛，推广了 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ 与 $\mathrm{SU}(n)$ 的早期结果。
• 当 $\Gamma$ 包含反全纯自同构时，$Y = X / \Gamma^+$ 上对应的对象为伪实抛物希格斯丛，将伪实希格斯丛理论扩展至抛物情形。
• 该构造提供了一个统一框架，通过上同调扭曲将特征簇上的群作用与轨道上的希格斯丛理论联系起来。
• 结果推广并统一了先前关于等变与伪实希格斯丛的工作，为有限群作用下特征簇的几何提供了新视角。