[论文解读] Action principle and Jaynes' guess method

Q. A. Wang|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2004

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文提出，通过相空间中的作用量定义的最大路径信息，可导出非平衡哈密顿系统中的最小作用量原理与最大熵变化。通过将路径信息与作用量及熵联系起来，表明最大路径信息既蕴含经典作用量原理，也蕴含最大熵产生，从而将 Jaynes 的最大熵方法重新解释为一种演绎性物理定律，而非主观推断工具。

ABSTRACT

A path information is defined in connection with the probability distribution of paths of nonequilibrium hamiltonian systems moving in phase space from an initial cell to different final cells. On the basis of the assumption that these paths are physically characterized by their action, we show that the maximum path information leads to an exponential probability distribution of action which implies that the most probable paths are just the paths of stationary action. We also show that the averaged (over initial conditions) path information between an initial cell and all the possible final cells can be related to the entropy change defined with natural invariant measures for dynamical systems. Hence the principle of maximum path information suggests maximum entropy and entropy change which, in other words, is just an application of the action principle of classical mechanics to the cases of stochastic or instable dynamics.

研究动机与目标

• 建立经典力学作用量原理与非平衡统计力学中最大熵方法之间的联系。
• 证明在随机或不稳定动力系统中，最大路径信息可导出作用量平稳路径与最大熵变化。
• 将 Jaynes 的最大熵推断方法重新表述为物理定律，而非仅主观猜测工具。
• 证明当路径信息被最大化时，可通过自然不变测度与熵变 ΔS = H_B|A 相关联，对应于动力系统中的熵变。

提出的方法

• 将路径信息定义为从初始相空间胞元到终态胞元的路径概率分布所对应的香农信息。
• 假设路径在物理上由其作用量表征，并推导出最大路径信息导致作用量的指数分布，表明最可能的路径即为作用量平稳的路径。
• 使用自然不变测度 μi 定义非平衡系统的熵 S = -Σμi ln μi，并通过熵变 ΔS = H_B|A 将其与路径信息联系起来。
• 推导出关键方程 ΔS = ⟨ln Z⟩ + η⟨A⟩，表明熵变等于平均路径信息，其中 Z 为归一化因子，A 为作用量。
• 应用最大路径信息原理推导不变测度与概率分布，表明其与经典力学及统计力学一致。
• 证明最大化路径信息既蕴含最大熵变化，也蕴含在初始熵固定时的最大终态熵，从而恢复最大熵原理作为作用量原理的推论。

实验结果

研究问题

• RQ1 最大路径信息原理能否用于推导随机或不稳定动力系统的经典作用量原理？
• RQ2 在非平衡哈密顿系统中，路径信息与熵变之间有何关系？
• RQ3 最大化路径信息是否导致与统计力学中最大化熵相同的概率分布？
• RQ4 Jaynes 的最大熵方法能否被解释为物理定律，而非主观推断方法？
• RQ5 在概率动力学中，作用量、信息与熵之间是否存在根本性联系？

主要发现

• 最大路径信息导致作用量的指数分布，表明最可能的路径即为作用量平稳的路径，从而恢复经典作用量原理。
• 初始条件上的平均路径信息等于熵变 ΔS = H_B|A，这与通过自然不变测度定义的熵变等价。
• 关键方程 ΔS = ⟨ln Z⟩ + η⟨A⟩ 表明熵变与平均作用量及归一化因子直接关联，统一了作用量与信息论。
• 最大化路径信息蕴含最大熵变化，且在初始熵固定时也蕴含最大终态熵，因此最大熵原理可作为作用量原理的推论被恢复。
• 本文结论认为，在概率动力学中，信息与熵是客观物理量，而非人为度量；最大信息是一种物理定律，而非仅推断启发法。
• 该框架为最大熵方法提供了演绎基础，表明其是作用量原理在随机系统中的应用。