[论文解读] Actions of finite groups and smooth functions on surfaces

Bohdan Feshchenko|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2016

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文建立了在光滑函数在闭曲面上的原子（临界水平集的正规邻域）的边界分量上，有限群作用可提升为全局 $f$-保持微分同胚的充分条件。通过基于流的构造和向量场的延拓定理，证明了若边界分量自同构群的一个子群 $H$ 满足特定的提升条件，则存在一个截面 $s: H \to \mathcal{S}_V(f)$，使得该群作用可通过保持函数 $f$ 的微分同胚实现全局化。该结果适用于一大类光滑函数，其局部芽在光滑意义下等价于 $\mathbb{R}^2$ 中无重线性因子的齐次多项式。

ABSTRACT

Let $f:M o \mathbb{R}$ be a Morse function on a smooth closed surface, $V$ be a connected component of some critical level of $f$, and $\mathcal{E}_V$ be its atom. Let also $\mathcal{S}(f)$ be a stabilizer of the function $f$ under the right action of the group of diffeomorphisms $\mathrm{Diff}(M)$ on the space of smooth functions on $M,$ and $\mathcal{S}_V(f) = \{h\in\mathcal{S}(f)\,| h(V) = V\}.$ The group $\mathcal{S}_V(f)$ acts on the set $π_0\partial \mathcal{E}_V$ of connected components of the boundary of $\mathcal{E}_V.$ Therefore we have a homomorphism $ϕ:\mathcal{S}(f) o \mathrm{Aut}(π_0\partial \mathcal{E}_V)$. Let also $G = ϕ(\mathcal{S}(f))$ be the image of $\mathcal{S}(f)$ in $\mathrm{Aut}(π_0\partial \mathcal{E}_V).$ Suppose that the inclusion $\partial \mathcal{E}_V\subset M\setminus V$ induces a bijection $π_0 \partial \mathcal{E}_V oπ_0(M\setminus V).$ Let $H$ be a subgroup of $G.$ We present a sufficient condition for existence of a section $s:H o \mathcal{S}_V(f)$ of the homomorphism $ϕ,$ so, the action of $H$ on $\partial \mathcal{E}_V$ lifts to the $H$-action on $M$ by $f$-preserving diffeomorphisms of $M$. This result holds for a larger class of smooth functions $f:M o \mathbb{R}$ having the following property: for each critical point $z$ of $f$ the germ of $f$ at $z$ is smoothly equivalent to a homogeneous polynomial $\mathbb{R}^2 o \mathbb{R}$ without multiple linear factors.

研究动机与目标

• 确定在光滑函数在曲面上的原子边界分量上，有限群作用何时可提升为全局 $f$-保持微分同胚。
• 将微分同胚群在莫尔斯型函数上的稳定化作用扩展，以包含临界水平集边界上的有限群作用。
• 提供一个充分条件，使得原子边界分量自同构群的一个子群 $H$ 可提升为稳定化子 $\mathcal{S}_V(f)$ 的子群。
• 将莫尔斯函数的相关结果推广至更广一类光滑函数，其局部芽为无重线性因子的齐次多项式。
• 建立一种构造性方法，通过微分同胚将原子边界上的有限群作用实现为函数的全局对称性。

提出的方法

• 定义光滑函数 $f$ 在 $\mathrm{Diff}(M)$ 右作用下的稳定化子 $\mathcal{S}(f)$，及其保持临界水平集分量 $V$ 的子群 $\mathcal{S}_V(f)$。
• 构造同态 $\phi: \mathcal{S}(f) \to \mathrm{Aut}(\pi_0 \partial \mathcal{E}_V)$，将微分同胚映射到原子 $\mathcal{E}_V$ 边界分量的置换。
• 利用与光滑函数 $\xi_{ri}$ 相关的向量场的流 $\mathbf{F}_{\xi_{ri}}$，在柱状区域 $Y_r$ 上定义局部微分同胚。
• 通过单位分解和西勒（Seeley）延拓定理，将 $Y_r$ 上的局部微分同胚 $\tilde{h}_{ri}$ 延拓为 $E_{r0}$ 上的全局微分同胚 $w_{ri}$，使得 $f \circ w_{ri} = f$。
• 通过拼接局部映射，在原子的并集 $\mathsf{E}$ 上构造一个全局微分同胚 $\lambda_3(h)$，确保各分量间相容且保持 $f$，从而定义同态 $\chi_3: H \to \mathrm{Diff}(\mathsf{E})$。
• 通过将 $\mathsf{E}$ 上的提升作用与剩余部分 $\mathcal{E}_{V,a}$ 上的原始作用结合，定义 $M$ 上的全局 $H$-作用 $\Sigma$，并证明截面 $s: H \to \mathcal{S}_V(f)$ 的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在光滑函数在曲面上的原子边界分量上，有限群作用在何种条件下可提升为全局 $f$-保持微分同胚？
• RQ2 同态 $\phi: \mathcal{S}(f) \to \mathrm{Aut}(\pi_0 \partial \mathcal{E}_V)$ 何时允许从像群 $G = \phi(\mathcal{S}(f))$ 的子群 $H$ 拾取截面？
• RQ3 如何从临界水平集邻域边界上的有限群作用构造出全局 $f$-保持微分同胚群作用？
• RQ4 函数芽的局部结构（例如，无重线性因子的齐次多项式）在实现此类提升中起何种作用？
• RQ5 能否利用向量场的流，将柱状区域上的局部微分同胚延拓为整个曲面上的全局 $f$-保持微分同胚？

主要发现

• 建立了在有限群 $H$ 作用于原子 $\mathcal{E}_V$ 的边界分量时，可将其提升为曲面 $M$ 上全局 $f$-保持微分同胚群作用的充分条件，通过截面 $s: H \to \mathcal{S}_V(f)$ 实现。
• 通过基于流的局部微分同胚在柱状区域 $Y_r$ 上的扩展，构造了在原子分量并集 $\mathsf{E}$ 上的全局微分同胚 $\lambda_3(h)$。
• 该构造依赖于将定义在边界柱面上的光滑函数 $\xi_{ri}$ 延拓为更大区域 $E_{r0}$ 上的向量场，确保其流保持 $f$。
• 由西勒延拓定理保证了向量场的 $C^\infty$ 延拓存在性，由此得到的微分同胚 $w_{ri}$ 满足 $f \circ w_{ri} = f$ 在 $E_{r0}$ 上。
• 最终在 $M$ 上定义的全局 $H$-作用 $\Sigma$ 是良定义且连续的，其结合了 $\mathsf{E}$ 上的提升作用与 $\mathcal{E}_{V,a}$ 上的原始作用，从而证明了截面 $s$ 的存在性。
• 该结果适用于一大类光滑函数 $f$，其在临界点处的局部芽在光滑意义下等价于 $\mathbb{R}^2$ 中无重线性因子的齐次多项式。