[论文解读] Actions of groups of birationally extendible automorphisms

Alan Huckleberry, Dmitri Zaitsev|ArXiv.org|Aug 22, 1995

Advanced Algebra and Geometry参考文献 22被引用 11

一句话总结

本文研究复数域上由有理延拓自同构生成的群作用，其定义域为多项式不等式所确定的区域。对于具有有限多个连通分支或有界自同构次数的群，本文证明了其在射影空间中的线性化——即通过有理的、G-等变映射将该区域嵌入复射影空间，从而得到与轨道维数相匹配的丰富有理不变量。

ABSTRACT

We study the actions of a Lie group $G$ by birationally extendible automorphisms on a domain $D\subset C^n$. For a large class of such domains defined by polynomial inequalities, all automorphisms are of this type. In the cases 1) $G$ has finitely many components or 2) the degree of the automorphisms is bounded, we prove that the action of $G$ is projectively linearizable, i.e. there exist a linear representation of $G$ on some $ C^{N+1}$ and a holomorphic $G$-equivariant embedding $i: D o P^N$, which is a restriction of a rational mapping. As a corollary we obtain as many rational invariant functions as the dimension of generic orbits allows. A hard copy is available from [e-mail]

研究动机与目标

• 通过有理延拓自同构理解复域上李群作用的动力与几何结构。
• 确定此类群作用在射影设置下可线性化的条件。
• 建立对一般轨道而言足够数量的有理不变量的存在性。
• 将线性化结果推广至由多项式不等式定义的广泛类域。
• 通过有理等变嵌入，弥合复几何与代数变换群之间的鸿沟。

提出的方法

• 聚焦于ℂⁿ中由多项式不等式定义的域D，其中所有自同构均为有理延拓的。
• 在群具有有限多个连通分支或有界次数的条件下，分析此类自同构生成的群作用。
• 构造一个全纯的、G-等变嵌入i: D → ℙ^N，其可延拓为ℂ^{N+1}上的有理映射。
• 利用表示论与有理几何，将群作用实现为ℂ^{N+1}上的线性作用。
• 利用双有理自同构的结构，确保嵌入的有理延拓。
• 应用复分析与代数几何的技术，证明等变有理延拓的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，作用于复域上的有理延拓自同构群可实现射影线性化？
• RQ2 群的有界次数或有限连通分支结构如何影响其作用的线性化？
• RQ3 一般轨道的维数与该作用所产生的有理不变量数量之间有何关系？
• RQ4 每个多项式定义域的自同构是否均可有理延拓？这又如何影响群作用的结构？
• RQ5 多大程度上可通过对有理映射实现复射影空间中的全holomorphic G-等变嵌入？

主要发现

• 对于具有有限多个连通分支或有界自同构次数的群，其作用是射影线性化的。
• 存在一个全纯的、G-等变嵌入i: D → ℙ^N，其为有理映射的限制。
• 线性化意味着存在与一般轨道维数相等数量的有理不变量。
• 由多项式不等式定义的域类包含了所有有理延拓自同构。
• 该结果将线性化推广至超越代数作用的更广泛类别的解析群作用。
• 该构造是有效的，依赖于自同构的有理延拓与群表示理论。