[论文解读] Active Control of the Parametric Resonance in the Modified Rayleigh-Duffing Oscillator

C. H. Miwadinou, A. V. Monwanou+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2013

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于时滞反馈的主动控制策略，用于抑制改进型Rayleigh-Duffing振子中的参数共振。通过应用平均法和Routh-Hurwitz稳定性分析，作者证明了适当选择时滞和反馈增益可显著降低振动幅度，并扩大非平凡稳态解的稳定区域，从而有效控制Hopf分支和鞍结分支。

ABSTRACT

The present paper examines the active control of parametric resonance in modified Rayleigh-Duffing oscillator. We used the method of averaging to obtain steady-state solutions. We have found the critical value of the parametrical amplitude which indicates the boundary layer where the control is efficient in reducing the amplitude vibration. We have also found the effects of excitation parameters and time-delay on dynamical of this system with the principal parametric resonance. We have obtained for this oscillator the Hopf bifurcation and saddle-node bifurcation for certains values of parametric parameters and time-delay. We have studied the influence of parameter $k_2$ which is one of the parameters which modify the ordinary Rayleigh-Duffing oscillator. We have discussed the appropriate choice of the time-delay and control gain. We finally studied the stability of fixed point and it is found that the appropriate choice of the time-delay can broaden the stable region of the non-trivial steady-state solutions which will enhance the control efficiency. Numerical simulations are performed in order to confirm analytical results.

研究动机与目标

• 研究采用时滞反馈的改进型Rayleigh-Duffing振子中参数共振的主动控制。
• 确定控制开始有效的参数振幅临界阈值。
• 分析激励参数、时滞和反馈增益对系统稳定性及分岔行为的影响。
• 识别能够增强稳定性并降低振动幅度的最优时滞和控制增益值。
• 研究参数$k_2$对控制性能及分岔结构的影响。

提出的方法

• 应用平均法，推导包含时滞位置与速度反馈的改进型Rayleigh-Duffing振子的一阶近似稳态解。
• 从原始二阶非线性常微分方程中推导出振幅与相位方程，以分析周期响应。
• 采用Routh-Hurwitz判据，通过分析雅可比矩阵的特征值，评估非平凡稳态解的稳定性。
• 构建分岔图与频率响应曲线，可视化参数激励与时滞对系统动力学的影响。
• 通过数值模拟验证分析结果，特别是稳定性域与控制下振动幅度的降低。
• 在振子方程中引入时滞反馈项$-b x(t- au)$与$-c \.dot{x}(t- au)$，以建模主动控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 时滞反馈如何影响改进型Rayleigh-Duffing振子中参数共振的振幅？
• RQ2 控制开始有效的参数振幅与失谐参数的临界值是什么？
• RQ3 反馈增益与时滞如何影响非平凡稳态解的稳定性？
• RQ4 参数$k_2$在改变系统分岔结构与控制效率方面起什么作用？
• RQ5 在主动控制下，系统在何种条件下表现出Hopf分支或鞍结分支？

主要发现

• 确定了参数振幅的临界值，即在此阈值以上时，主动控制能有效降低振动幅度。
• 当位置时滞控制增益$b$超过速度时滞控制增益$c$时，非平凡稳态解的稳定域得到扩展。
• 适当选择时滞与反馈增益可同时抑制Hopf分支与鞍结分支，从而增强系统稳定性。
• 参数$k_2$显著影响稳定区域的形状与范围，以及参数共振的振幅。
• 数值模拟结果证实，在最优时滞与反馈增益设置下，主共振处的振动幅度得以降低。
• Routh-Hurwitz判据表明，稳定性要求$T > 0$且$D > 0$，并推导出$T$与$D$关于系统参数与时滞的具体表达式。