[论文解读] Active-Passive Brownian Particle in Two Dimensions

Tayeb Jamali|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2020

Micro and Nano Robotics参考文献 23被引用 6

一句话总结

本文提出了一种二维主动-被动布朗粒子模型，其中自推进速度通过随机电报过程在零（被动）和恒定值（主动）之间随机切换。通过推导位移矩和有效扩散系数的解析表达式，研究显示该模型在被动与主动布朗运动之间插值，并在大尺度上等价于定向翻滚粒子（run-and-tumble particles）。

ABSTRACT

We describe a two-dimensional model for active particles whose self-propulsion speed is not fixed, but varies in time, and whose motion is subject to both translational and rotational diffusion. In the conventional treatment of active Brownian motion, the self-propulsion speed is taken to be constant - an assumption convenient for analysis but poorly matched to many real systems. Here we relax that assumption, allowing the speed $v(t)$ to fluctuate stochastically between two values: $v=0$ (a passive state) and $v=s$ (an active state). Transitions between these states are taken to follow a random telegraph process. This ``active-passive Brownian particle'' inherits limiting behaviors from both the purely active and purely passive Brownian cases. Analytical expressions for the first two displacement moments, and for the resulting effective diffusion coefficient, make this dual character explicit. Moreover, by an appropriate identification of parameters, a run-and-tumble particle - such as a motile bacterium - can be mapped onto this model in such a way that their large-scale diffusivities coincide.

研究动机与目标

• 建立一种具有时变自推进速度的主动粒子运动模型，突破标准主动布朗运动中速度恒定的假设。
• 研究间歇性活动（主动/被动切换）对二维系统中平动与转动扩散的影响。
• 在随机速度切换条件下，推导位移前两个矩及有效扩散系数的解析表达式。
• 证明该模型能同时捕捉被动与主动布朗运动的特征。
• 建立主动-被动模型与定向翻滚粒子（RTPs）之间的映射关系，表明其在长时间尺度下具有等价的扩散系数。

提出的方法

• 使用二维朗之万方程建模粒子运动，其中自推进速度 $v(t)$ 为时变的，且 $v(t)$ 是一个两态马尔可夫过程：$v=0$（被动）或 $v=s$（主动）。
• 通过具有跃迁速率 $\alpha$（被动到主动）和 $\beta$（主动到被动）的随机电报过程实现速度切换。
• 利用两态马尔可夫过程的主方程，推导速度状态的条件概率 $p(s,t|v_0,0)$。
• 采用福克-普朗克方法计算方位角概率密度 $p(\varphi,t)$，其为均值为零、方差为 $2D_r t$ 的高斯分布，从而可计算取向平均值。
• 利用转移密度计算系综平均值 $\langle \cos\varphi(t) \rangle$、$\langle \sin\varphi(t) \rangle$ 及交叉相关函数 $\langle \cos\varphi(t_1)\cos\varphi(t_2) \rangle$。
• 结合速度与取向统计特性，解析计算位移的前两个矩及有效扩散系数 $D_{\text{eff}}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 随机切换主动与被动状态如何影响二维布朗粒子的均方位移？
• RQ2 在主动-被动模型中，有效扩散系数的解析形式是什么？其如何依赖于 $D_t$、$D_r$、$s$、$\alpha$ 和 $\beta$？
• RQ3 该主动-被动模型能否再现定向翻滚粒子（如大肠杆菌）的长期扩散行为？
• RQ4 在哪些时间尺度下，该模型表现出类似纯布朗运动或主动布朗运动的行为？
• RQ5 在速度切换存在的情况下，取向相关函数 $\langle \cos\varphi(t_1)\cos\varphi(t_2) \rangle$ 和 $\langle \sin\varphi(t_1)\sin\varphi(t_2) \rangle$ 如何随时间演化？

主要发现

• 由于各向同性和零均值噪声，位移的一阶矩 $\langle \mathbf{r}(t) \rangle$ 为零，与平衡态行为一致。
• 二阶矩 $\langle (\mathbf{r}(t) - \mathbf{r}_0)^2 \rangle$ 展现出从弹道运动到扩散运动的过渡，有效扩散系数为 $D_{\text{eff}} = D_t + \frac{s^2}{2} \cdot \frac{\alpha \beta}{(\alpha + \beta)^2} \cdot \frac{1}{D_r}$。
• 在快速切换极限下（$\alpha, \beta \to \infty$），模型退化为具有恒定速度 $s$ 的标准主动布朗运动，验证了模型的一致性。
• 在慢速切换极限下（$\alpha, \beta \to 0$），粒子行为类似于扩散系数为 $D_t$ 的被动布朗粒子，表明该模型在被动与主动区域之间实现插值。
• 该主动-被动模型所导出的有效扩散系数与非相互作用定向翻滚粒子（RTP）模型的表达式一致，证实了在大尺度下存在映射关系。
• 取向相关函数随时间呈指数衰减，时间常数依赖于 $D_r$，当 $t_2 > t_1$ 时，有 $\langle \cos\varphi(t_1)\cos\varphi(t_2) \rangle \sim e^{-D_r(t_2 - t_1)}$，表明方向性随时间失去记忆。