[论文解读] Actual computational time-cost of the Quantum Fourier Transform in a quantum computer using nuclear spins

Akihiro Saito, K. Kioi+3 more|ArXiv.org|Jan 31, 2000

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 2被引用 7

一句话总结

本文分析了在基于核自旋的量子计算机（特别是体自旋共振，BSR）和自旋共振晶体管（SRT）实现中，量子傅里叶变换（QFT）的实际计算时间成本。研究表明，由于受门操作时间依赖的影响（尤其是相位旋转和非相邻受控-相位门），实际时间成本呈 $O(n2^n)$ 的增长，远超理想的 $O(n^2)$ 成本，对大规模因数分解的可行性构成严重挑战。

ABSTRACT

We found that the actual computational time-cost of the QFT is O(n 2^n) for large n in a quantum computer using nuclear spins. The computational cost of a quantum algorithm has usually been estimated as the sum of the universal gates required in such ideal mathematical models as the Quantum Turing Machine(QTM) and the quantum circuit. This cost is proportional to an actual time-cost in the physical implementation where all quantum operations can be achieved in the same time. However, if the implementation takes a different time for each quantum gate, there is a possibility that the actual time-cost will have a different behavior from the ideal cost. So we estimated the actual time-cost of the QFT in these implementations by considering the gating time. The actual time-cost is drastically different from O(n^2) estimated by complexity analysis.

研究动机与目标

• 评估在使用核自旋的物理量子计算机中，量子傅里叶变换（QFT）的实际时间成本，突破理想化复杂度模型的局限。
• 研究在BSR和SRT实现中，单量子比特门和两量子比特门的操作时间如何变化。
• 评估通过相邻交换操作构建非相邻门对总执行时间的影响。
• 将理想化的 $O(n^2)$ 复杂度与实际硬件依赖的时间成本在真实物理实现中的表现进行比较。
• 在磁场控制和门操作时间的实际物理约束下，评估大规模量子因数分解的可行性。

提出的方法

• 使用标准量子门对QFT进行建模：Hadamard门 ($H_j$)、相位旋转门 ($R_{yj}( heta)$、$R_{zj}( heta)$)、受控-相位门 ($C_{j,k}( heta)$) 和受控-相位旋转门 ($D_{j,k}( heta)$)。
• 分析BSR和SRT中的门操作，其中门时间取决于脉冲持续时间或场强，相位旋转门的时间与旋转角度成正比。
• 通过相邻交换操作 ($S_{j,k}$) 建模非相邻两量子比特门，采用如 $S_{k,k-1} \cdots S_{j+1,j} U_{j,j+1} S_{j,j+1} \cdots S_{k,k-1}$ 的序列将控制量子比特转移。
• 通过累加所有相位旋转和交换操作的时间，推导出总时间成本，考虑随着 $n$ 增大而指数增长的旋转角度。
• 利用QFT电路中的对称性减少冗余交换操作，表明经过优化后仅剩余 $O(n^2)$ 次交换。
• 比较时间控制（时间与角度成正比）与强度控制（每门固定时间）两种模式，表明前者导致时间呈指数增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 在核自旋量子计算机中，QFT的实际时间成本与理想化的 $O(n^2)$ 复杂度有何不同？
• RQ2 门操作时间依赖性（尤其是相位旋转）对QFT总执行时间有何影响？
• RQ3 通过相邻交换操作构建非相邻受控-相位门，对总时间成本有何影响？
• RQ4 QFT电路的对称性能否减少所需交换操作的数量，若能，减少到何种程度？
• RQ5 由于所需磁场强度呈指数增长，这在实际中对大规模QFT实现构成哪些限制？

主要发现

• 在BSR和SRT实现中，QFT的实际时间成本对于较大的 $n$ 呈 $O(n2^n)$ 增长，远超理想的 $O(n^2)$ 成本。
• 在时间控制模式下，每个相位旋转的时间与旋转角度成正比，导致时间随 $n$ 呈指数增长。
• 在强度控制模式下，虽然门时间恒定，但所需磁场强度随 $n$ 呈指数增长，若最小旋转对应 $10^{-3}$ T，则100量子比特QFT所需磁场强度可达 $B \sim 10^{27}$ T。
• 在朴素构造中，非相邻受控-相位门需要 $O(n^3)$ 次相邻交换，但通过对称性优化后可减少至 $O(n^2)$ 次交换。
• 实际时间成本主要由相位旋转决定，而非交换操作，表明门操作时间是物理实现中的关键瓶颈。
• 本研究结论认为，仅依赖理想化复杂度分析不足以判断实际可行性；必须考虑实际时间成本，才能评估大规模量子算法的可行性。