[论文解读] Actuator Dynamics Compensation in Stabilization of Abstract Linear Systems

Hongyinping Feng, Xiaohui Wu+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2020

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 29被引用 6

一句话总结

本文提出一种系统化方法，通过全状态反馈补偿执行器动态，以稳定抽象的无限维级联系统。该方法引入一种新型上块三角变换，实现系统解耦并建立指数稳定性，无需依赖李雅普诺夫函数，成功解决了诸如常微分方程（ODE）配以偏微分方程（PDE）执行器，以及偏微分方程（PDE）配以有限维执行器等复杂情形，包括输入时滞和不稳定热方程问题。

ABSTRACT

This is the first part of four series papers, aiming at the problem of actuator dynamics compensation for linear systems. We consider the stabilization of a type of cascade abstract linear systems which model the actuator dynamics compensation for linear systems where both the control plant and its actuator dynamics can be infinite-dimensional. We develop a systematic way to stabilize the cascade systems by a full state feedback. Both the well-posedness and the exponential stability of the resulting closed-loop system are established in the abstract framework. A sufficient condition of the existence of compensator for ordinary differential equation (ODE) with partial differential equation (PDE) actuator dynamics is obtained. The feedback design is based on a novelly constructed upper-block-triangle transform and the Lyapunov function design is not needed in the stability analysis. As applications, an ODE with input delay and an unstable heat equation with ODE actuator dynamics are investigated to validate the theoretical results. The numerical simulations for the unstable heat system are carried out to validate the proposed approach visually.

研究动机与目标

• 开发一种统一、系统化的方法，用于稳定控制对象与执行器动态均为无限维的抽象级联系统。
• 解决长期存在的挑战：利用有限维执行器动态稳定无限维系统（如PDE）。
• 克服现有PDE反向设计方法的局限性，后者依赖启发式目标系统设计与核PDE。
• 在不依赖李雅普诺夫函数构造的前提下，建立闭环系统的适定性与指数稳定性。
• 在两个关键问题上验证该方法的有效性：ODE中的输入时滞补偿，以及具有ODE执行器动态的不稳定热方程的稳定化。

提出的方法

• 构建一种新型上块三角变换，将级联系统解耦为独立子系统。
• 该方法依赖求解Sylvester算子方程以实现系统解耦，当算子$A_1$或$A_2$中至少一个有界时，该方程具有可解性。
• 通过半群理论与谱分析证明稳定性，无需设计李雅普诺夫函数。
• 从解耦系统中推导出反馈律，确保闭环系统具有指数稳定性。
• 将该方法应用于具有输入时滞的ODE及具有ODE执行器动态的不稳定热方程，通过数值模拟验证其有效性。
• 该变换保持可控性，使得有限维控制设计技术可应用于无限维被控对象。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一个统一框架，用于稳定具有通用无限维执行器动态的级联系统？
• RQ2 对于控制对象为无限维而执行器为有限维的系统，如何实现执行器动态补偿？
• RQ3 是否存在一种系统化方法，可在不依赖PDE反向设计或李雅普诺夫函数的前提下，稳定ODE-PDE与PDE-ODE级联系统？
• RQ4 Sylvester方程方法能否用于解耦并稳定具有无界算子的复杂级联系统？
• RQ5 有限维控制器如何有效稳定如不稳定热方程等无限维系统？

主要发现

• 针对具有PDE执行器动态的ODE系统，基于Sylvester方程可解性，建立了补偿器存在的充分条件。
• 在所提出的全状态反馈律下，闭环系统被证明是适定且指数稳定的。
• 对于具有ODE执行器动态的不稳定热方程，有限维控制器成功稳定了无限维被控对象，通过谱分配在-2处获得稳定极点。
• 数值模拟结果证实了控制器的有效性，显示控制输入平滑，且PDE与ODE分量的状态轨迹迅速衰减。
• 该方法成功稳定了具有输入时滞的ODE系统，证明其适用于建模为传输PDE的时滞系统。
• 该方法具有通用性，可扩展至具有Euler-Bernoulli梁动力学及其他复杂PDE的系统，已在后续工作中得到验证。