[论文解读] Adaptation Implies Internal Model

Eduardo D. Sontag|ArXiv.org|Mar 21, 2002

Fault Detection and Control Systems参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文证明，任何适应某一类外部信号的非线性系统，必须包含一个能够生成该类所有信号的内部子系统——建立了适应性与内部建模之间的基础性联系。在温和的技术条件下，系统的输出调节至零意味着存在一个仅由输出驱动的子系统（即内部模型），该子系统通过坐标变换和ω-极限集分析复现外部信号，将内部模型原理推广至非线性或非鲁棒稳定系统之外。

ABSTRACT

This note provides a simple result showing, under suitable technical assumptions, that if a system S adapts to a class of external signals U, then S must necessarily contain a subsystem which is capable of generating all the signals in U. It is not assumed that regulation is robust, nor is there a prior requirement for the system to be partitioned into separate plant and controller components.

研究动机与目标

• 建立一个一般性条件，以说明非线性系统中的适应性是否必然意味着存在用于外部信号的内部模型。
• 消除内部模型原理中对结构稳定性（鲁棒性）或预设被控对象-控制器分解的依赖。
• 使用微分几何与动力系统理论，提供一个最小化、自包含的证明，适用于一般非线性系统。
• 通过支持生物学建模，实现对包含与不包含信号输入内部模型的模型之间的区分。

提出的方法

• 构建一个复合系统模型，将原始系统Σ与生成外部信号u(t)的外系统Γ结合，其中w(t)表示外系统状态。
• 应用ω-极限集分析，表明复合系统的轨迹必须收敛至输出h(x) = 0的状态，从而暗示输出为零的行为。
• 采用全局微分同胚Φ，将系统变换为规范形式，使内部模型结构变得明确。
• 利用输出为零集合Z = {x | h(x) = 0}与Poisson稳定性，确保存在维持零输出并跟踪输入信号的解。
• 证明对于任意输入u ∈ U，存在一个解，使得内部子系统通过变换坐标系下的z1和z2的动力学复现u。
• 应用线性系统理论（引理3.2）表明，在可观测性条件下，内部模型可被嵌入包含外系统动力学的块对角形式中。

实验结果

研究问题

• RQ1 适应某一类外部信号是否必然意味着存在一个能够生成这些信号的子系统，即使在不假设鲁棒性或控制器-被控对象分离的情况下？
• RQ2 能否在最小假设下，将内部模型原理建立于一般非线性系统之上？
• RQ3 内部模型如何在系统中实现结构化嵌入？何种条件可确保其存在？
• RQ4 ω-极限集与输出为零集合在证明此类内部模型存在性中起何种作用？
• RQ5 该结果能否进一步推广，以证明内部模型不仅存在，而且在适当的坐标变换下与外系统同构？

主要发现

• 对于外系统初始状态w0的任意取值，复合系统存在一个解，使得输出h(x(t)) ≡ 0，且内部状态x(t)在所有t ≥ 0时均保持在输出为零集合Z中。
• 系统Σ必须包含一个子系统Σim，能够生成该类U中的所有信号，即使不假设结构稳定性或控制器-被控对象分解。
• 内部模型仅由输出y(t)驱动，不直接访问外部输入u，从而确认了内部模型原理的核心要求。
• 在变换后的坐标系中，z1子系统按积分链演化，且输出y = ζ1 ≡ 0意味着最后一个状态ζr为常数。
• 对于每个u ∈ U，存在一个解，使得内部动力学通过关系式b(0, z2(t)) + a(0, z2(t))u(t) ≡ 0复现u，从而证明了信号的复现。
• 在可观测性条件下，内部模型可被嵌入包含外系统动力学的块对角形式中，表明外系统与内部模型子系统之间存在结构同构关系。