[论文解读] Adaptive and non-adaptive estimation for degenerate diffusion processes

Arnaud Gloter, Nakahiro Yoshida|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 39被引用 6

一句话总结

本文提出了针对具有退化椭圆结构的退化扩散过程的自适应与非自适应估计方法，其中第二分量无扩散项但依赖于漂移参数。通过利用两个分量增量的联合信息，估计量实现了更快的收敛速度和更低的渐近方差——尤其在非扩散分量的漂移参数估计中表现显著——在正则性条件下证明了渐近正态性。

ABSTRACT

We discuss parametric estimation of a degenerate diffusion system from time-discrete observations. The first component of the degenerate diffusion system has a parameter $θ_1$ in a non-degenerate diffusion coefficient and a parameter $θ_2$ in the drift term. The second component has a drift term parameterized by $θ_3$ and no diffusion term. Asymptotic normality is proved in three different situations for an adaptive estimator for $θ_3$ with some initial estimators for ($θ_1$ , $θ_2$), an adaptive one-step estimator for ($θ_1$ , $θ_2$ , $θ_3$) with some initial estimators for them, and a joint quasi-maximum likelihood estimator for ($θ_1$ , $θ_2$ , $θ_3$) without any initial estimator. Our estimators incorporate information of the increments of both components. Thanks to this construction, the asymptotic variance of the estimators for $θ_1$ is smaller than the standard one based only on the first component. The convergence of the estimators for $θ_3$ is much faster than the other parameters. The resulting asymptotic variance is smaller than that of an estimator only using the increments of the second component.

研究动机与目标

• 解决在第二分量无扩散项的退化扩散过程中参数估计问题，此类问题对标准方法构成挑战。
• 开发利用分量间依赖关系以提升效率的估计量，尤其针对非扩散分量的漂移参数。
• 基于两个分量的联合信息，建立θ₃估计量的渐近正态性与效率提升。
• 在离散高频率采样且观测间隔趋于零的条件下，为自适应与一步估计量提供理论依据。
• 证明由于跨分量信息的存在，θ₁的渐近方差相比仅基于第一分量的估计量有所降低。

提出的方法

• 利用(θ₁, θ₂)的初始估计量，通过联合动态结构构造θ₃的自适应估计量。
• 提出(θ₁, θ₂, θ₃)的一步估计量，通过整合两个分量增量的信息以提升效率。
• 使用联合拟最大似然估计量(θ₁, θ₂, θ₃)，无需初始估计量，确保一致性和渐近正态性。
• 对Y的增量过渡密度应用局部高斯近似，并通过在X动态中引入协变量Y进行优化。
• 采用随机场方法与鞅中心极限定理，证明估计函数及其导数的收敛性。
• 通过估计方程与Hessian近似收敛性，结合条件[A1]、[A2]、[A3(ii)]与[A4♯](i)，建立渐近正态性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当第二分量无扩散项时，是否可在退化扩散过程中实现对漂移参数θ₃的高效估计？
• RQ2 整合两个分量增量信息如何影响估计量的渐近方差与收敛速率？
• RQ3 在双曲椭圆扩散模型中，使用联合信息与边际信息对参数估计效率有何影响？
• RQ4 在高频率离散采样且满足nh → ∞与nh² → 0的条件下，自适应与一步估计量能否实现渐近正态性与效率？
• RQ5 与仅使用第一分量增量相比，使用联合信息时θ₁的渐近方差有何变化？

主要发现

• 由于跨分量信息的存在，θ₁估计量的渐近方差小于仅基于第一分量的估计量。
• θ₃的收敛速度显著快于θ₁与θ₂，且其渐近方差小于仅使用第二分量增量的估计量。
• 在正则性条件下，(θ₁, θ₂, θ₃)的联合拟最大似然估计量无需初始估计量即可实现渐近正态性。
• 当与一致初始估计量结合时，(θ₁, θ₂, θ₃)的一步估计量实现渐近正态性，极限分布为N(0, diag[(Γ⁽¹⁾)⁻¹, Γ₂₂⁻¹])。
• θ₂估计量与θ₁估计量渐近正交，从而实现联合渐近正态性，且渐近协方差矩阵为分块对角形式。
• 在条件[A1]（其中θ₂的(i_A,j_A,i_B,j_B,i_H,j_H) = (1,1,2,1,0,0)，Hessian的(i_A,j_A,i_B,j_B,i_H,j_H) = (1,3,2,1,0,0)）以及[A2]、[A3(ii)]与[A4♯](i)下，估计量的渐近正态性得以确立。