[论文解读] Adaptive Euler-Maruyama Method for SDEs with Non-globally Lipschitz Drift: Part I, Finite Time Interval

Wei Fang, Michael B. Giles|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 20被引用 22

一句话总结

该论文提出了一种用于非全局Lipschitz漂移随机微分方程（SDEs）的自适应Euler-Maruyama方法，通过依赖于当前解的步长来确保稳定性。证明了在适当的步长边界下，该方法对一般SDEs实现了1/2阶的强收敛，对单位扩散系数的Langevin SDEs实现了1阶强收敛，同时在有限时间区间内保持了有限的期望步数。

ABSTRACT

This paper proposes an adaptive timestep construction for an Euler-Maruyama approximation of SDEs with a drift which is not globally Lipschitz. It is proved that if the timestep is bounded appropriately, then over a finite time interval the numerical approximation is stable, and the expected number of timesteps is finite. Furthermore, the order of strong convergence is the same as usual, i.e. order one-half for SDEs with a non-uniform globally Lipschitz volatility, and order one for Langevin SDEs with unit volatility and a drift with sufficient smoothness. The analysis is supported by numerical experiments for a variety of SDEs.

研究动机与目标

• 解决在应用于具有非全局Lipschitz漂移的SDEs时，统一步长Euler-Maruyama格式的不稳定性问题。
• 开发一种自适应步长策略，以保持稳定性并维持标准的强收敛阶。
• 证明在适当的步长边界下，有限时间区间内期望步数保持有限。
• 将收敛性理论扩展至漂移函数为局部Lipschitz且满足单边线性增长条件的SDEs。
• 证明自适应方法可达到与标准方法相同的强收敛阶，而无需使用隐式或稳定化格式。

提出的方法

• 该方法使用依赖于当前近似解 $ \widehat{X}_{t_n} $ 的自适应步长 $ h_n $，具体表现为与漂移函数范数成反比。
• 通过限制步长以防止其爆炸性增长，确保即使在漂移非全局Lipschitz时也能保持数值稳定性。
• 分析依赖于使用 $ \|x\|^2 $ 作为稳定性函数的李雅普诺夫型论证，以控制解的增长。
• 关键组成部分是利用漂移函数的局部单边Lipschitz条件，以在误差分析中控制解的增长。
• 收敛性证明应用了Burkholder-Davis-Gundy不等式和Grönwall不等式，以有界期望上确界误差。
• 该方法在保持Euler-Maruyama格式显式结构的同时，通过动态步长控制确保了稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过自适应步长策略稳定具有非全局Lipschitz漂移的SDEs的显式Euler-Maruyama格式？
• RQ2 自适应步长是否能保持标准的强收敛阶，即一般SDEs为 $ \frac{1}{2} $，单位扩散系数的Langevin SDEs为1？
• RQ3 在自适应策略下，有限时间区间内期望步数是否有限？
• RQ4 当漂移函数非全局Lipschitz但满足单边线性增长条件时，该方法是否仍能保持稳定性？
• RQ5 与现有稳定化方法（如tamed Euler-Maruyama）相比，该自适应方法在性能和收敛性方面表现如何？

主要发现

• 自适应Euler-Maruyama方法对具有非均匀全局Lipschitz扩散系数且漂移函数为局部Lipschitz并满足单边线性增长条件的SDEs，实现了 $ \frac{1}{2} $ 阶的强收敛。
• 对于单位扩散系数且漂移函数光滑的Langevin SDEs，该方法实现了1阶强收敛，与经典收敛率一致。
• 在适当的自适应步长边界下，有限时间区间 $[0, T]$ 内使用的期望步数为有限值。
• 通过动态调整步长防止解爆炸，该方法即使在统一步长方法失效时也能确保数值稳定性。
• 数值实验支持了收敛性分析，表明在某些测试案例中，该方法的性能与tamed Euler方法相比具有竞争力或更优。
• 该方法保持了Euler-Maruyama格式的显式结构，避免了隐式或稳定化格式带来的计算开销。