[论文解读] Adaptive First-Order System Least-Squares Finite Element Methods for Second Order Elliptic Equations in Non-Divergence Form

Weifeng Qiu, Shun Zhang|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2019

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 28被引用 7

一句话总结

该论文提出了一种用于非散度形式二阶椭圆PDE的自适应一阶系统最小二乘有限元方法（LSFEMs），其中由于缺乏分部积分相容性，标准Galerkin方法失效。通过引入梯度作为新变量，并采用$C^0$有限元与$L^2$-和加权-LSFEM公式，该方法在弱假设下实现了最优收敛速率，并在自适应网格加密下表现出色，尤其适用于奇解和退化系数问题。

ABSTRACT

This paper studies adaptive first-order least-squares finite element methods for second-order elliptic partial differential equations in non-divergence form. Unlike the classical finite element method which uses weak formulations of PDEs not applicable for the non-divergence equation, the first-order least-squares formulations naturally have stable weak forms without using integration by parts, allow simple finite element approximation spaces, and have build-in a posteriori error estimators for adaptive mesh refinements. The non-divergence equation is first written as a system of first-order equations by introducing the gradient as a new variable. Then two versions of least-squares finite element methods using simple $C^0$ finite elements are developed in the paper, one is the $L^2$-LSFEM which uses linear elements, the other is the weighted-LSFEM with a mesh-dependent weight to ensure the optimal convergence. Under a very mild assumption that the PDE has a unique solution, optimal a priori and a posteriori error estimates are proved. With an extra assumption on the operator regularity which is weaker than traditionally assumed, convergences in standard norms for the weighted-LSFEM are also discussed. $L^2$-error estimates are derived for both formulations. We perform extensive numerical experiments for smooth, non-smooth, and even degenerate coefficients on smooth and singular solutions to test the accuracy and efficiency of the proposed methods.

研究动机与目标

• 解决因系数不可微而导致无变分公式的二阶非散度形式椭圆PDE的挑战。
• 克服依赖分部积分的经典有限元方法在非散度算子下失效的局限性。
• 基于最小二乘法构造稳定、一致的有限元公式，采用一阶系统并仅施加最小正则性假设。
• 在弱唯一性假设下建立最优先验与后验误差估计，并改进加权-LSFEM的正则性条件。
• 通过$L^2$-LSFEM与加权-LSFEM在光滑、非光滑及退化系数问题中展示自适应网格加密的有效性。

提出的方法

• 通过引入梯度作为辅助变量，将二阶非散度形式PDE重新表述为一阶系统。
• 构建两种最小二乘有限元公式：使用线性$C^0$单元的$L^2$-LSFEM，以及采用与网格相关的权重以确保最优收敛的加权-LSFEM。
• 对解与梯度变量均使用$C^0$有限元空间，实现简单且符合要求的离散化。
• 将最小二乘泛函定义为一阶系统的加权残差之和，避免使用分部积分。
• 基于单元残差推导后验误差估计器，用于自适应网格加密。
• 应用由后验误差指标驱动的自适应加密，以在最小自由度下提升精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否有效将一阶系统最小二乘有限元方法适配于经典弱形式不适用的非散度形式二阶椭圆PDE？
• RQ2 在仅假设系数矩阵唯一可解且有界的最小假设下，$L^2$-LSFEM与加权-LSFEM的收敛行为如何？
• RQ3 对于具有非光滑或退化系数的问题，特别是当解缺乏完整$H^2$正则性时，所提方法表现如何？
• RQ4 在存在奇点或低正则性的情况下，自适应网格加密能否显著减少自由度，同时保持最优收敛速率？
• RQ5 在不同解与系数正则性条件下，$L^2$-LSFEM与加权-LSFEM在收敛阶与效率方面的相对表现如何？

主要发现

• 在唯一可解性与系数矩阵有界性的温和假设下，证明了最优先验与后验误差估计。
• 即使在退化系数情况下，加权-LSFEM在能量范数与解的$L^2$-范数中均达到最优收敛阶$k$。
• 对于使用$S_{1,0} \times S_{1}^2$单元的$L^2$-LSFEM，由于正则性不足与退化性，$L^2$-误差以速率1收敛，而能量范数收敛速率小于1。
• 在L形区域中，当$A_5$（Hölder连续）时，$S_{3,0} \times S_{2}^2$加权-LSFEM仅用50个自由度即实现$||\nabla(u - u_h)||_0 \leq 0.01$，而$L^2$-LSFEM则需7,618个节点。
• 自适应加密将网格加密集中在奇点与坐标轴附近，如$u = x^{4/3} - y^{4/3}$问题所示，证实了误差定位的有效性。
• 对于L形问题中的$A_5$、$A_6$与$A_7$，所有自适应方法均达到最优收敛阶，表明在不同系数正则性类别下具有鲁棒性。