[论文解读] Adaptive time-stepping for Stochastic Partial Differential Equations with non-Lipschitz drift

Stuart Campbell, Gabriel J. Lord|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 20被引用 9

一句话总结

本文提出了一种针对具有非Lipschitz漂移和乘性迹类噪声的半线性随机PDE的自适应时间步长格式，结合指数积分器空间半群与随漂移响应增长而减小的时间步长。该方法在漂移为全局Lipschitz时具有相同的强收敛速率，通过离散Gronwall引理与条件Itô等距公式予以证明。

ABSTRACT

We introduce an explicit, adaptive time-stepping scheme for the simulation of SPDEs with one-sided Lipschitz drift coefficients. Strong convergence rates are proven for the full space-time discretisation with multiplicative trace-class noise by considering the space and time discretisation separately. Adapting the time-step size to ensure strong convergence is shown numerically to produce more accurate solutions when compared to alternative fixed time-stepping strategies for the same computational effort.

研究动机与目标

• 开发一种针对非全局Lipschitz漂移SPDE的强收敛显式时间步长格式，这是数值SPDE中的主要挑战。
• 通过引入自适应时间步长控制而非稳定化或隐式方法，克服标准Euler-Maruyama方法在非Lipschitz漂移下的失效问题。
• 在单边Lipschitz漂移与乘性迹类噪声条件下，建立全时空离散化的强收敛速率。
• 通过数值实验表明，自适应步长在相同计算成本下优于固定步长方法，精度更高。
• 为SPDE中的自适应格式提供理论基础，扩展此前仅用于SDE的方法。

提出的方法

• 定义一种自适应时间步长策略，以控制数值漂移响应的增长，确保其对解大小的依赖不超过线性关系。
• 该格式结合有限元或谱Galerkin空间半群逼近与指数积分器进行时间离散化。
• 时间步长根据当前解的漂移响应动态调整，并设置最小步长以防止发散。
• 关键组成部分是利用条件Itô等距公式与温和解在时间上的条件正则性，以控制误差传播。
• 收敛性分析将空间与时间离散化分离处理，应用离散Gronwall引理以在L²范数下有界全局误差。
• 在具有非Lipschitz漂移的SPDE上对方法进行数值验证，比较相同计算量下自适应与固定步长策略的表现。

实验结果

研究问题

• RQ1 显式自适应时间步长格式能否在标准Euler-Maruyama方法失效的非Lipschitz漂移SPDE中实现强收敛？
• RQ2 在乘性迹类噪声与单边Lipschitz漂移下，自适应格式的收敛速率如何？
• RQ3 在相同计算成本下，自适应格式在精度与效率上如何优于固定步长方法？
• RQ4 在自适应设置中，确保稳定性和收敛性所需的时间步长大小条件为何？
• RQ5 通过自适应时间步长，能否在非Lipschitz漂移下保持全局Lipschitz问题的理论收敛速率？

主要发现

• 自适应时间步长格式实现了与全局Lipschitz漂移下相同的强收敛速率，具体为最大时间步长Δt_max的1−ε阶。
• 误差界形式为𝔼[‖E_k(T)‖² | 𝒢_n] ≤ Λ Δt_max^{1−ε} exp(C₂T)，在自适应步长控制下证明了收敛性。
• 数值实验验证了理论收敛速率，并表明在相同计算量下，自适应方法产生的解比固定步长方法更精确。
• 只要时间步长保持在最小阈值Δt_min以上，该方法便保持稳定与收敛，若达到Δt_min则需启用后备方案。
• 误差常数Λ与C₂依赖于漂移响应阈值ρ，当使用引理4.5的规则i)时，整体常数C(T,ρ,X₀)与ρ^{2θ}成正比。
• 分析建立了温和解的条件正则性与Itô等距公式，这对控制随机积分项的误差至关重要。