[论文解读] Adaptive variational algorithms for quantum Gibbs state preparation

Ada Warren, Li Zhu+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 14

一句话总结

该论文提出了一种新型无熵的变分量子算法目标函数，可在近期量子硬件上实现高保真度的量子吉布斯态制备。通过将该目标函数与自适应、问题定制的量子电路构造方法（ADAPT-VQAs）相结合，该方法在各种温度下均实现了超过99%的保真度，且电路深度显著降低，尤其在低温下相比以往方法具有显著优势。

ABSTRACT

The preparation of Gibbs thermal states is an important task in quantum computation with applications in quantum simulation, quantum optimization, and quantum machine learning. However, many algorithms for preparing Gibbs states rely on quantum subroutines which are difficult to implement on near-term hardware. Here, we address this by (i) introducing an objective function that, unlike the free energy, is easily measured, and (ii) using dynamically generated, problem-tailored ansätze. This allows for arbitrarily accurate Gibbs state preparation using low-depth circuits. To verify the effectiveness of our approach, we numerically demonstrate that our algorithm can prepare high-fidelity Gibbs states across a broad range of temperatures and for a variety of Hamiltonians.

研究动机与目标

• 解决在近期量子处理器上制备有限温度吉布斯态的挑战，该挑战受限于需要昂贵的量子子程序（如量子相位估计算法或冯·诺依曼熵估计）。
• 通过消除对冯·诺依曼熵的测量需求，克服标准变分吉布斯态制备方法与近期设备不兼容的问题，因为该测量随系统尺寸增长而表现极差。
• 提出一种新的目标函数，其最小值对应吉布斯态，但仅需测量态的纯度和哈密顿量的低阶幂，使其适用于当前的含噪声中等规模量子（NISQ）硬件。
• 提出自适应变分算法，通过动态构建与问题相关的特定量子电路，提升收敛速度并减少电路深度，从而提高效率与保真度。
• 证明所提出的方法可在广泛温度范围和不同哈密顿量下，利用低深度量子电路实现高保真度的吉布斯态制备，即使吉布斯算符通过截断泰勒级数近似，亦可实现。

提出的方法

• 提出一种新颖的目标函数 $ C(\rho) = -\Tr(\rho_G\rho) + \frac{1}{2}\Tr(\rho^2) $，其最小值为吉布斯态 $ \rho_G $，且无需直接测量冯·诺依曼熵。
• 使用 $ e^{-\beta H} $ 的截断泰勒展开 $ \sum_{n=0}^{m} \frac{(-\beta)^n}{n!} H^n $ 来近似 $ \rho_G $，通过测量小阶数 $ n $ 的 $ H^n $ 来估计 $ \Tr(\rho_G\rho) $，避免直接访问 $ e^{-\beta H} $。
• 实现两种自适应变分算法：ADAPT-VQE-Gibbs 和 ADAPT-QAOA-Gibbs，通过目标函数的梯度信息迭代构建量子电路，以高效地逼近吉布斯态。
• 利用 SWAP 测试测量态的纯度 $ \Tr(\rho^2) $，作为目标函数的关键组成部分，仅需两份制备态和 $ N_A $ 个受控-SWAP 门即可完成。
• 采用梯度阈值策略（例如 $ \epsilon = 10^{-3} $）指导自适应电路构造，确保以最小电路深度收敛至高保真度态。
• 在多次随机初始化中后选择表现最佳的量子电路，以提升数值模拟中的保真度与鲁棒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一种变分量子算法，可在不测量冯·诺依曼熵的前提下制备高保真度的吉布斯态，而该测量在近期量子硬件上不可行？
• RQ2 当完整算符 $ e^{-\beta H} $ 未知或不可测量时，其截断泰勒展开在多大程度上可实现精确的吉布斯态制备？
• RQ3 与固定量子电路相比，自适应电路构造（ADAPT-VQA）在吉布斯态制备中如何提升保真度并减少电路深度？
• RQ4 与以往方法相比，新目标函数与自适应算法在电路深度或门数上可带来多大性能提升，尤其是在低温条件下？
• RQ5 所提出的方法是否能在广泛温度范围和不同哈密顿量（包括具有周期性边界条件的伊辛模型与 XY 模型）下保持高保真度？

主要发现

• 所提出的目标准则 $ C(\rho) = -\Tr(\rho_G\rho) + \frac{1}{2}\Tr(\rho^2) $ 在吉布斯态处取得最小值，且避免了对冯·诺依曼熵的估计，因此适用于近期量子设备。
• 数值模拟表明，ADAPT-VQE-Gibbs 和 ADAPT-QAOA-Gibbs 均在周期性伊辛与 XY 哈密顿量的广泛温度范围内，仅使用三或更少的电路层即实现了 >99% 的保真度。
• 在低温（$ \beta^{-1} = 2.6 $）条件下，ADAPT-QAOA-Gibbs 算法相比以往方法减少了10个CNOT门，表明在更大系统中可能实现显著的资源节省。
• 将 $ e^{-\beta H} $ 的泰勒级数截断至 $ m=5 $ 阶时，性能与无限级数相当，仅出现适度的保真度下降，表明低阶近似已足够实现高保真度制备。
• 即使在目标函数被近似时，该方法仍保持高保真度，当 $ m=5 $ 时，保真度损失低于 $ 10^{-3} $，表明对算符近似误差具有强鲁棒性。
• ADAPT-VQA 框架通过基于梯度信息的、问题定制的电路构造，实现了比固定电路方法更快的收敛速度和更低的电路深度，尤其在低温条件下优势显著。