[论文解读] Adaptive wavelet estimation of a compound Poisson process

Céline Duval|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2012

Statistical Methods and Inference参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文提出了一种自适应小波阈值估计器，用于对在离散、采样频率逐渐增加的区间内观测到的复合泊松过程的跳变密度进行估计。通过使用逆算子的泰勒展开式来反演复合算子，并对估计的增量应用小波阈值处理，该方法在 $L_p$ 损失下于贝索夫空间上实现了极小极大最优收敛速率，即使采样率 $Δ_T$ 随 $T$ 多项式缓慢衰减，只要满足 $T\Delta_T^{2K+2} \leq 1$（其中 $K \geq 1$），该方法依然有效。估计器能够自适应未知的光滑性，并通过数据驱动估计处理未知的强度 $φ$。

ABSTRACT

We study the nonparametric estimation of the jump density of a compound Poisson process from the discrete observation of one trajectory over $[0,T]$. We consider the microscopic regime when the sampling rate $Δ=Δ_T ightarrow0$ as $T ightarrow\infty$. We propose an adaptive wavelet threshold density estimator and study its performance for the $L_p$ loss, $p\geq 1$, over Besov spaces. The main novelty is that we achieve minimax rates of convergence for sampling rates $Δ_T$ that vanish with $T$ at arbitrary polynomial rates. More precicely, our estimator attains minimax rates of convergence provided there exists a constant $K\geq 1$ such that the sampling rate $Δ_T$ satisfies $TΔ_T^{2K+2}\leq 1.$ If this condition cannot be satisfied we still provide an upper bound for our estimator. The estimating procedure is based on the inversion of the compounding operator in the same spirit as Buchmann and Grübel (2003).

研究动机与目标

• 从离散、高频观测数据中，开发一种非参数自适应小波估计器，用于复合泊松过程的跳变密度。
• 当采样率 $\Delta_T \to 0$ 且 $T \to \infty$ 时，实现贝索夫空间上 $L_p$ 损失的极小极大最优收敛速率。
• 将现有结果从限制性条件 $T\Delta_T \leq 1$ 扩展至允许 $\Delta_T$ 任意缓慢的多项式衰减。
• 通过从数据中估计强度 $φ$，处理 $φ$ 未知的情况。

提出的方法

• 通过在 $\Delta$ 上使用 $K$ 阶泰勒展开，对复合算子 $f \mapsto \mathbf{P}_\Delta[f]$ 的逆进行近似，得到 $\mathbf{L}_{\Delta,K}$，该算子近似于 $\mathbf{P}_\Delta^{-1}$。
• 逆算子表示为 $\mathbf{P}_\Delta^{-1}[\nu] = \sum_{m \geq 1} a_m(\vartheta, \Delta) \nu^{\star m}$，其中系数 $a_m$ 显式推导得出，且依赖于 $\vartheta$ 和 $\Delta$。
• 基于离散路径中非零增量的估计，通过小波阈值处理 $\mathbf{P}_\Delta[f]^{\star m}$（$m=1,\dots,K+1$）的样本估计，构造估计器 $\widehat{f}^K_{T,\Delta_T}(\widehat{\vartheta})$。
• 通过 $\widehat{\vartheta} = N_T / T$ 从非零增量数 $N_T$ 中估计强度 $\vartheta$，在微观尺度下该估计是一致的。
• 对去复合增量应用小波阈值以降低偏差与方差，阈值根据数据和光滑性水平自适应选择。
• 通过矩不等式和罗森塔尔不等式控制 $L_p$ 风险，理论性能分析表明在条件 $T\Delta_T^{2K+2} \leq 1$ 下达到极小极大最优性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当采样率 $\Delta_T$ 随 $T$ 多项式缓慢衰减时，自适应小波估计器能否实现复合泊松过程跳变密度的极小极大收敛速率？
• RQ2 在微观尺度下 $\Delta_T \to 0$ 且 $T \to \infty$ 时，即使 $T\Delta_T^{2K+2} \leq 1$ 对任意 $K \geq 1$ 成立，是否仍能保持极小极大最优性？
• RQ3 在强度 $\vartheta$ 未知且观测为离散、高频数据的条件下，如何稳健地反演复合算子？
• RQ4 估计器能否在未知跳变密度光滑性（在贝索夫空间中）下自适应，同时保持最优的 $L_p$ 收敛速率？

主要发现

• 所提出的小波阈值估计器在 $T\Delta_T^{2K+2} \leq 1$（$K \geq 1$）条件下，即使 $\Delta_T$ 衰减极慢，仍能在贝索夫空间上实现 $L_p$ 损失的极小极大最优收敛速率。
• 估计器达到经典极小极大速率 $T^{-\alpha(s,\pi,p)}$，仅相差常数因子与对数因子，与直接观测到 $T$ 个独立同分布样本 $f$ 时的速率一致。
• $L_p$ 风险被控制在 $\mathfrak{C}(T^{-(1-1/(2p))} + T^{-1/2})$ 以内，由于 $\alpha(s,p,\pi) \leq 1/2$，该值相对于极小极大速率可忽略不计。
• 通过 $\widehat{\vartheta} = N_T / T$ 一致估计强度 $\vartheta$，所得到的估计器仍保持自适应性与极小极大最优性。
• 即使 $T\Delta_T^{2K+2} > 1$，该方法仍能提供风险的非平凡上界，表明对更慢采样具有鲁棒性。
• 理论分析依赖于复合算子的傅里叶反演及通过罗森塔尔不等式获得的矩不等式，确保对去复合步骤中随机误差的有效控制。