[论文解读] Addendum to " Sum rules via large deviations "

Fabrice Gamboa, Jan Nagel+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2016

Random Matrices and Applications参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文通过引入一个将具有凸率函数的概然性大偏差原理（LDP）与具有非凸率函数的LDP相结合的一般性定理，填补了Gamboa、Nagel和Rouault（2016）中关于谱测度LDP证明的空白。该方法依赖于联合矩生成函数收敛性与暴露点条件，从而实现了对谱矩阵测度与单位圆上谱测度的联合LDP推导，即使在单个率函数非凸的情况下亦成立。

ABSTRACT

In these notes we fill a gap in a proof in Section 4 of Gamboa, Nagel, Rouault [Sum rules via large deviations, J. Funct. Anal. 270 (2016), 509-559]. We prove a general theorem which combines a LDP with a convex rate function and a LDP with a non-convex one. This result will be used to prove LDPs for spectral matrix measures and for spectral measures on the unit circle.

研究动机与目标

• 为Gamboa、Nagel和Rouault（2016）中谱测度LDP证明中的一个缺口提供补足。
• 建立一个结合具有凸率函数与非凸率函数的LDP的一般性框架。
• 在标准方法因率函数非凸而失效的情况下，实现对谱矩阵测度与单位圆上谱测度的联合LDP证明。
• 提供一个自包含、通用的定理，可超越原始语境应用，潜在适用于随机矩阵理论与统计力学。

提出的方法

• 提出一个一般性定理（定理3.1），将两个LDP结合：一个具有凸率函数，另一个具有非凸率函数。
• 利用联合矩生成函数收敛性：当 n→∞ 时，(1/n) log E[exp(n⟨x*,X_n⟩ + nφ(Y_n))] → G_X(x*) + J(φ)，其中 x* ∈ D 且 φ ∈ C_b(Y)。
• 应用Bryc的逆Varadhan引理与Baldi定理的一个版本，以识别率函数 G_X^* 与 I_Y。
• 对暴露点施加密度条件：每个满足 G_X^*(x) < ∞ 的 x 均可由满足 γx_k^* ∈ D（γ > 1）的暴露点 x_k 近似。
• 建立 (X_n, Y_n) 的联合LDP，其良好率函数为 I(x,y) = G_X^*(x) + I_Y(y)，其中 I_Y(y) = sup_φ {φ(y) - J(φ)}。
• 通过验证截断特征值与紧区间上测度的上下文中的矩生成函数收敛性与暴露点条件，将该定理应用于谱测度。

实验结果

研究问题

• RQ1 当某一边缘具有非凸率函数、导致标准联合LDP证明失效时，能否为一对随机变量建立大偏差原理？
• RQ2 是否可以通过联合矩生成函数收敛性，将一个凸LDP与一个非凸LDP相结合？
• RQ3 在某一成分缺乏凸性时，何种条件可确保联合LDP率函数保持良好且可识别？
• RQ4 如何利用暴露点逼近将LDP结果推广至非凸率函数情形？
• RQ5 该一般性框架能否应用于证明谱矩阵测度与单位圆上谱测度的LDP？

主要发现

• 即使 I_M,λ^± 非凸，(μ̃_I^(n), λ_M^±) 的联合LDP仍成立，其良好率函数为 I(μ,λ) = G^*(μ) + I_M,λ^±(λ)。
• 通过验证定理3.1的假设（特别是暴露点逼近条件），完成了Gamboa、Nagel和Rouault（2016）中定理4.2的证明。
• 联合矩生成函数收敛：lim_{n→∞} (1/n) log E[exp(n∫fdμ̃_I^(n) + nφ(λ_M^±))] = G(f) + J(φ)，其中 G(f) = -∫log(1-f)dμ_V。
• 每个满足 G^*(μ) < ∞ 的测度 μ 均可由具有严格正连续密度的测度弱逼近，从而确保暴露点条件成立。
• 率函数 G^* 在测度的一个稠密集上严格凸，但主要结果在对偶率函数 H^* 非凸时依然成立。
• 该方法成功将大偏差理论的适用范围扩展至经典凸性假设不成立的谱测度情形。