[论文解读] Adding digit vectors

Peter Hellekalek|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2012

Digital Image Processing Techniques参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文研究了在基 $ b \geq 2 $ 下长度为 $ m $ 的数字向量上的所有可能的阿贝尔群运算（加法），表明至少存在 $ 2^{m-1} $ 种不同的此类运算。关键结果是，所有有效的加法运算均可通过 $ m $ 的组合与剩余类群 $ \mathbb{Z}/b^t\mathbb{Z} $ 的自同构复合生成，从而在素数基 $ p $ 下得到 $ (p-1)(2p-1)^{m-1} $ 种不同的加法运算，显著扩展了流密码和分组密码等密码原 primitive 的设计空间。

ABSTRACT

In this paper, we study the different possibilities to add two vectors of digits of a given length $m$. Our results show that there are at least $2^{m-1}$ different additions of such vectors, while there exist only two types of addition that we may employ, addition with carry and addition without carry. The proofs of our results are elementary.

研究动机与目标

• 对 $ \mathcal{A}_b^m $ 上的所有二元运算进行分类，使其在加法下构成阿贝尔群。
• 确定在基 $ b \geq 2 $ 下长度为 $ m $ 的数字向量上，存在多少种不同的此类群运算。
• 探究是否存在多于两种标准类型（带进位加法与无进位加法，即异或）的加法运算，可用于密码构造。
• 研究剩余类群 $ \mathbb{Z}/b^t\mathbb{Z} $ 的自同构如何生成更多不同的加法运算。
• 提供一种框架，通过在每个数字块上改变加法类型，扩大密钥空间并增强流密码与分组密码中的混淆与扩散特性。

提出的方法

• 利用有限阿贝尔群的基本定理，根据 $ m $ 的组合将 $ \mathcal{A}_b^m $ 分解为循环群 $ \mathbb{Z}/b^{t_i}\mathbb{Z} $ 的直积。
• 在每个分量 $ \mathbb{Z}/b^{t_i}\mathbb{Z} $ 上定义群运算，使用模 $ b^{t_i} $ 的整数加法，并可对整数表示应用自同构 $ \sigma $。
• 应用映射 $ \operatorname{int}_b(\mathbf{x}) = \sum_{j=0}^{t-1} x_j b^j $ 将数字向量转换为整数，在 $ \mathbb{Z}/b^t\mathbb{Z} $ 中执行运算，再通过 $ \operatorname{dig}_b $ 映射回。
• 计算 $ \mathbb{Z}/b^t\mathbb{Z} $ 的有效自同构数量，其值为 $ \varphi(b^t) $，其中 $ \varphi $ 为欧拉函数。
• 将 $ m $ 的所有组合与各分量上所有自同构选择相结合，计算不同群运算的总数。
• 推导出素数基 $ p $ 下的闭式表达式 $ (p-1)(2p-1)^{m-1} $，并推广至一般基 $ b $ 的情形，表达式为 $ b^m C_b (1 + C_b)^{m-1} $，其中 $ C_b = \prod_{i=1}^s (1 - 1/p_i) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在数字向量 $ \mathcal{A}_b^m $ 上，是否存在多于两种类型的加法运算，使其构成阿贝尔群结构？
• RQ2 通过 $ m $ 的组合与剩余类群的自同构，可在 $ \mathcal{A}_b^m $ 上定义多少种不同的阿贝尔群运算？
• RQ3 在分量群 $ \mathbb{Z}/b^t\mathbb{Z} $ 上使用自同构，是否能生成显著更多的不同加法运算？
• RQ4 当考虑组合与自同构时，素数基 $ p $ 下 $ \mathcal{A}_p^m $ 上的阿贝尔群运算的确切数量是多少？
• RQ5 此类运算的数量如何随 $ m $ 变化？当这些运算被用作密码密钥调度的一部分时，对密码安全性有何影响？

主要发现

• 即使不考虑自同构，仅基于 $ m $ 的组合，$ \mathcal{A}_b^m $ 上至少存在 $ 2^{m-1} $ 种不同的阿贝尔群运算。
• 对于素数基 $ p $，$ \mathcal{A}_p^m $ 上不同阿贝尔群运算的总数为 $ (p-1)(2p-1)^{m-1} $，该结果由 $ m $ 的组合与 $ \mathbb{Z}/p^{t_i}\mathbb{Z} $ 的自同构复合得出。
• 当 $ p = 2 $ 且 $ m = 8 $ 时，不同加法运算的数量为 $ 3^7 = 2187 $，远超标准的异或与整数加法类型。
• $ \mathbb{Z}/b^t\mathbb{Z} $ 的自同构数量为 $ \varphi(b^t) $，其为乘性函数，取决于 $ b $ 的质因数分解。
• 对于一般基 $ b $，不同加法运算的总数为 $ b^m C_b (1 + C_b)^{m-1} $，其中 $ C_b = \prod_{i=1}^s (1 - 1/p_i) $，$ p_i $ 为 $ b $ 的不同质因数。
• 该构造通过在每个数字块上改变加法类型，能够实现大而结构化的密钥空间扩展，从而增强密码系统中的混淆与扩散特性。