[论文解读] Adding high powered relations to large groups

Marc Lackenby|ArXiv.org|Dec 15, 2005

Geometric and Algebraic Topology参考文献 2被引用 4

一句话总结

该论文证明了，对于任意有限生成的大群 $G$ 及其任意有限个元素 $g_1, \dots, g_r \in G$，商群 $G / \langle\!\langle g_1^n, \dots, g_r^n \rangle\!\rangle$ 对于无穷多个整数 $n$ 仍保持大群性质，尤其当 $n$ 是某个有限指数正规子群 $H$ 的指数 $[G:H]$ 的充分大倍数时成立，其中 $H$ 映射到非交换自由群。该结果可推广至自由群情形，此时对所有但有限多个 $n$， largeness 性质均成立，并在 3-流形拓扑中具有强应用价值，特别是在 Dehn 挖补与大群性质在无穷多个挖补斜率下的保持性方面。

ABSTRACT

A group is known as `large' if some finite index subgroup admits a surjective homomorphism onto a non-abelian free group. The main theorem of the paper is as follows. Let G be a finitely generated, large group and let g_1,...,g_r be a collection of elements of G. Then G/<> is also large, for infinitely many integers n. Furthermore, when G is free, this holds for all but finitely many n. These results have the following application to Dehn surgery. Let M be a compact orientable 3-manifold with boundary a torus. Suppose that the 3-manifold obtained by Dehn filling some slope on the boundary has large fundamental group. Then this is true for infinitely many filling slopes.

研究动机与目标

• 确定在何种条件下，对大群模去其元素的高次幂后，仍能保持大群性质。
• 将已知关于高次幂商群下双曲性与大群性质的结论扩展至群论与 3-流形拓扑的上下文。
• 通过覆盖空间理论与上同调准则（特别是定理 1.3 中的上同调映射条件）提供大群性质的拓扑证明。
• 将主要结果应用于 Dehn 挖补，证明若某次挖补得到的流形其基本群为大群，则存在无穷多个挖补方式也具有此性质。

提出的方法

• 利用自由群作为圆 bouquet 的基本群的拓扑实现，通过沿代表 $g_i^n$ 的环路附加 2-胞状构造 2-复形。
• 应用定理 1.3，该定理给出了大群性质的上同调准则：若包含诱导的 $H^1(-; \mathbb{F}_p)$ 映射非单射（当 $p=2$ 时需满足维数条件），则基本群为大群。
• 通过将大群 $G$ 嵌入自由群（利用有限指数子群）并将元素在幂映射下的像进行分析，将定理 1.1 归约至定理 1.2。
• 利用 3-流形中链的 Dehn 挖补结构，将所得流形的基本群表示为原群模去涉及子午线与挖补斜率关系的商群。
• 利用子午线与挖补斜率之间的距离 $\Delta(\mu_i, s_i)$ 控制商群中的指数，将拓扑距离与代数大群性质相联系。
• 将定理 1.1 应用于商群 $\pi_1(M)/\langle\!\langle \lambda_1^N, \dots, \lambda_r^N \rangle\!\rangle$，证明其对无穷多个 $N$ 为大群，因此所得基本群亦为大群。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，对大群模去其元素的高次幂后，仍能保持大群性质？
• RQ2 在自由群中，$F/\langle\!\langle g_1^n, \dots, g_r^n \rangle\!\rangle$ 对所有但有限多个 $n$ 为大群的结果，能否推广至一般大群？
• RQ3 若某次 Dehn 挖补使 3-流形的基本群为大群，则该性质是否在无穷多个挖补斜率下仍保持？
• RQ4 何种拓扑或代数条件可确保通过 Dehn 挖补得到的 3-流形的基本群保持为大群？

主要发现

• 对于任意有限生成的大群 $G$ 及其元素 $g_1, \dots, g_r$，商群 $G / \langle\!\langle g_1^n, \dots, g_r^n \rangle\!\rangle$ 对于无穷多个整数 $n$ 仍为大群，尤其当 $n$ 是某个有限指数正规子群 $H$ 的指数 $[G:H]$ 的充分大倍数时成立，其中 $H$ 映射到非交换自由群。
• 在有限生成的非交换自由群 $F$ 情形下，商群 $F / \langle\!\langle g_1^n, \dots, g_r^n \rangle\!\rangle$ 对所有但有限多个 $n$ 均为大群，其结果强于一般情形。
• 定理 1.1 推出：对于 $S^3$ 中的扭结 $K$，其 $n$ 重循环分支覆盖对无穷多个 $n$ 具有大群基本群，尽管未必对所有 $n$ 成立。
• 定理 3.1 建立：若 $M$ 是紧致可定向 3-流形且其基本群为大群，$L$ 是 $M$ 中的链，则当 $\Delta(\mu_i, s_i)$ 被某个固定 $N$ 整除时，沿斜率 $s_i$ 进行 Dehn 挖补，可得到对无穷多个此类斜率集合，其结果流形的基本群仍为大群。
• 定理 1.5 推出：若某次 Dehn 挖补使具有环面边界的一 3-流形的基本群为大群，则对无穷多个不同的挖补斜率集合，该性质仍成立。