[论文解读] Adding integral action for open-loop exponentially stable semigroups and application to boundary control of PDE systems

Alexandre Terrand-Jeanne, Vincent Andrieu+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2019

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 20被引用 6

一句话总结

本文提出了一种基于李雅普诺夫的积分控制器设计方法，适用于具有开环指数稳定性的无限维系统，实现指数输出调节。通过使用前馈技术构造新型李雅普诺夫泛函，建立了积分增益选择的显式条件，无需假设控制或测量算子有界，即可实现鲁棒调节——在抛物型和双曲型PDE系统上得到验证，且闭环系统保证指数稳定。

ABSTRACT

The paper deals with output feedback stabilization of exponentially stable systems by an integral controller. We propose appropriate Lyapunov functionals to prove exponential stability of the closed-loop system. An example of parabolic PDE (partial differential equation) systems and an example of hyperbolic systems are worked out to show how exponentially stabilizing integral controllers are designed. The proof is based on a novel Lyapunov functional construction which employs the forwarding techniques.

研究动机与目标

• 针对开环系统具有指数稳定性的无限维系统，解决输出调节问题，采用积分控制方法。
• 开发一种李雅普诺夫泛函构造方法，确保引入积分作用后闭环系统的指数稳定。
• 放宽分布式参数系统调节问题中对控制与测量算子有界的常规假设。
• 通过统一的李雅普诺夫框架，推广现有关于双曲型PDE系统边界控制的结果。
• 显式确定保证指数稳定与输出调节的积分增益 $ k_i $ 和控制器矩阵 $ K_i $。

提出的方法

• 为扩展状态空间 $ \mathcal{X}_e = \mathcal{X} \times \mathbb{R}^m $ 构造一种新型李雅普诺夫泛函，融合系统状态与积分误差。
• 应用前馈技术设计李雅普诺夫泛函，确保其能捕捉引入积分控制后闭环系统的动态特性。
• 对控制算子施加有界性条件，并假设测量算子的适定性，以保证系统适定性与稳定性。
• 通过分析李雅普诺夫泛函沿系统轨迹的时间导数，推导出指数稳定的充分条件。
• 将该方法应用于抽象柯西问题与边界控制的双曲型PDE系统，结合能量估计与分部积分法。
• 通过稳定性不等式显式计算积分增益 $ k_i $ 与控制器矩阵 $ K_i $，得到 $ k_i^* $ 作为保证指数稳定的上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为引入积分控制器后的指数稳定抽象柯西问题，在不假设控制算子有界的情况下，构造出李雅普诺夫泛函？
• RQ2 如何显式确定积分增益 $ k_i $ 与控制器矩阵 $ K_i $，以确保指数稳定与输出调节？
• RQ3 所提出的基于李雅普诺夫的方法能否推广至具有边界控制的双曲型PDE系统，从而统一并推广现有结果？
• RQ4 系统算子需满足何种条件，才能保证在积分控制下闭环系统保持适定且指数稳定？
• RQ5 该方法是否可在不假设测量算子有界的情况下，实现对恒定扰动的调节？

主要发现

• 为引入积分控制的闭环系统构造了一种新型李雅普诺夫泛函，在控制与测量算子假设较弱的条件下，确保了指数稳定。
• 该方法给出了最大允许积分增益的显式表达式 $ k_i^* = \frac{\sqrt{\mu \underline{P}}}{|M| \overline{\Psi} \sqrt{c |T_2^{-1}|}} $，该表达式可保证指数稳定。
• 该方法消除了对控制或测量算子有界的假设，显著扩展了其在更广泛PDE系统类别中的适用性。
• 对于双曲型PDE系统，该方法统一并推广了现有关于边界调节的研究成果，包括波动方程与输运方程等情形。
• 基于分部积分与能量估计的证明技术，能够有效处理PDE背景下的边界耦合与非光滑解问题。
• 该方法确保受控输出在恒定扰动下仍能指数收敛至参考值，并给出了收敛速率的显式上界。