[论文解读] Adding Level Structure to Supersingular Elliptic Curve Isogeny Graphs

Sarah Arpin|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2022

Cryptography and Residue Arithmetic被引用 4

一句话总结

本文将经典的Deuring对应关系扩展至具有水平-$N$结构的超奇异椭圆曲线，证明其自同态环在四元数代数中构成水平$N$的Eichler整环。建立了具有水平结构的超奇异椭圆曲线与这些Eichler整环上的可逆左模之间的范畴等价，并证明在$ p $、$ N $与$ \ell $两两互素时，带有水平结构的$\ell$-同源图是连通的，为抗近期攻击的增强型同源基密码学奠定了基础。

ABSTRACT

In this paper, we add the information of level structure to supersingular elliptic curves and study these objects with the motivation of isogeny-based cryptography. Supersingular elliptic curves with level structure map to Eichler orders in a quaternion algebra, just as supersingular elliptic curves map to maximal orders in a quaternion algebra via the classical Deuring correspondence. We study this map and the Eichler orders themselves. We also look at isogeny graphs of supersingular elliptic curves with level structure, and how they relate to graphs of Eichler orders.

研究动机与目标

• 将Deuring对应关系扩展至具有水平-$N$结构的超奇异椭圆曲线，通过将自同态环表征为Eichler整环。
• 理解从具有水平结构的超奇异曲线同构类到Eichler整环同构类的映射中出现的非单射性，特别是通过同构类上的对合作用。
• 在具有水平-$N$结构的超奇异椭圆曲线范畴与它们的自同态环上的可逆左模范畴之间建立正式的范畴等价。
• 分析带有水平-$N$结构的$\ell$-同源图的结构，并证明其连通性，动机源于同源基密码学的应用。
• 通过引入水平结构以避免SIKE等协议中暴露的漏洞，为构建更安全的同源基密码协议提供框架。

提出的方法

• 将具有水平-$N$结构的超奇异椭圆曲线定义为对$(E, G)$，其中$E$是$\overline{\mathbb{F}}_p$上的超奇异曲线，且$G \subseteq E[N]$是阶为$N$的循环子群。
• 将自同态环$\mathcal{O}(E,G) = \{\alpha \in \text{End}(E) \mid \alpha(G) \subseteq G\}$表征为四元数代数$\text{End}(E) \otimes_\mathbb{Z} \mathbb{Q}$中的水平$N$的Eichler整环。
• 利用Eichler整环的双侧理想类群理论，描述从$(E,G)$到$\mathcal{O}(E,G)$的映射的纤维大小，证明当$N = q_1 \cdots q_r$为无平方因子时，其大小为$2^k$，其中$k \in \{0,1,\dots,r+1\}$。
• 构造一个从具有水平-$N$结构的超奇异椭圆曲线范畴到其自同态环$\mathcal{O}(E,G)$上的可逆左$\mathcal{O}(E,G)$-模范畴的反变函子$\mathcal{h}_{(E,G)}$，并证明其为范畴等价。
• 定义图$\mathcal{E}^{N}_{p,\ell}$，即具有水平-$N$结构的超奇异曲线之间的$\ell$-同源图，其顶点标记为同构类$(E,G)$，边表示度为$\ell$的同源。
• 利用Goren–Kassaei图的满射映射及Roda（2019）的条件，证明$\mathcal{E}^{N}_{p,\ell}$的连通性，表明在$ p $、$ N $与$\ell$两两互素时所有连通分支均相连。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有水平-$N$结构的超奇异椭圆曲线的自同态环如何与四元数代数中的整环相关？
• RQ2 从具有水平-$N$结构的超奇异曲线同构类到水平$N$的Eichler整环同构类的映射的纤维结构是什么？
• RQ3 能否在具有水平-$N$结构的超奇异椭圆曲线与它们的自同态环上的模之间建立范畴等价？
• RQ4 水平结构的引入如何影响在超奇异情形下$\\ell$-同源图的连通性与结构？
• RQ5 能否通过引入水平结构避免导致SIKE协议被攻破的信息泄露，从而构建更安全的同源基密码协议？

主要发现

• 具有水平-$N$结构的超奇异椭圆曲线的自同态环$\mathcal{O}(E,G)$同构于四元数代数$\text{End}(E) \otimes_\mathbb{Z} \mathbb{Q}$中的水平$N$的Eichler整环。
• 具有给定Eichler整环$\mathcal{O}$作为自同态环的具有水平-$N$结构的超奇异椭圆曲线的同构类数量等于$\mathcal{O}$的双侧理想类群的大小，当$N = q_1 \cdots q_r$为无平方因子时，其大小为$2^k$，其中$k \in \{0,1,\dots,r+1\}$。
• 在具有水平-$N$结构的超奇异椭圆曲线范畴与它们的自同态环$\mathcal{O}(E,G)$上的可逆左模范畴之间建立了范畴等价。
• 当$ p $、$ N $与$\ell$两两互素时，带有水平-$N$结构的$\\ell$-同源图$\mathcal{E}^{N}_{p,\ell}$是连通的，该结论通过Goren–Kassaei图的满射映射及Roda（2019）的条件得到证明。
• 当$ p \equiv 1 \pmod{12} $时，由于自同构对核的作用，可通过将同源与其对偶视为相同，将图$\mathcal{E}^{N}_{p,\ell}$画为无向图。
• 在非异常$ j $-不变量处，图$\mathcal{E}^{N}_{p,\ell}$中每个超奇异$ j $-不变量对应$N+1$个顶点，且从$\mathcal{E}^{N}_{p,\ell}$到经典$\ell$-同源图的顶点映射在非异常$ j $-不变量处为$(N+1)$对一。